《2026年金版新学案高三数学人教版》

4. 如图，$\triangle A'B'C'$ 是水平放置的 $\triangle ABC$ 的斜二测直观图，其中 $O'C' = O'A' = 2O'B'$，则以下说法正确的是（ ）


A.$\triangle ABC$ 是钝角三角形
B.$\triangle ABC$ 是等边三角形
C.$\triangle ABC$ 是等腰直角三角形
D.$\triangle ABC$ 是等腰三角形，但不是直角三角形

答案：
4.C 将直观图还原成原图形，如图所示，设A'C' = 2，则可得OB = 2OB' = 1，AC = A'C' = 2，从而$AB = BC = \sqrt{2}，$所以AB² + BC² = AC²，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.故选C.

典例 1
(1)如图，正三棱锥 $S - ABC$ 中，$\angle BSC = 40^{\circ}$，$SB = 2$，一质点自点 $B$ 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点 $B$ 的最短路线的长为( )

A.2
B.3
C.$2\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$

答案：
典例1
(1)C
(1)三棱锥S - ABC沿棱SB展开，其侧面展开图如图所示，其中∠BSB' = 120°，BS = B'S = 2，由余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为$BB' =\sqrt{2² + 2² - 2 × 2 × 2 × \cos 120^{\circ}} = 2\sqrt{3}.$故选C.

(2)圆台的上、下底面半径分别为 $10\ cm$，$20\ cm$，它的侧面展开图扇环的圆心角为 $180^{\circ}$，则圆台的表面积为____ $cm^{2}$。(结果中保留 $\pi$)
听课笔记：

答案：
典例1
(2)1100π
(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇形的圆心角是180°，故c = π·SA = 2π×10(cm)，所以$SA = \frac{c}{π} =20 cm.$同理可得SB = 40 cm，所以AB = SB - SA = 20 cm，所以$S_{表} = S_{侧} + S_{上底} + S_{下底} = π(10 + 20)×20 + π×10² + π×20² = 1100π(cm²).$故圆台的表面积为1100πcm².

对点练 1 已知圆台的上、下底面圆半径分别为 10 和 5，侧面积为 $300\pi$，$AB$ 为圆台的一条母线（点 $B$ 在圆台的上底面圆周上），$M$ 为 $AB$ 的中点，一只蚂蚁从点 $B$ 出发，绕圆台侧面爬行一周到点 $M$，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）

A.30
B.40
C.50
D.60

答案：
对点练1 C 圆台上底面半径为10，下底面半径为5，设母线长为l，所以侧面积S = πl(10 + 5) = 15πl，解得l = 20.将圆台所在圆锥的侧面展开如图所示，且设扇形所在圆的圆心为O.线段M₁B₁就是蚂蚁经过的最短距离.设OA = R，扇形的圆心角是α，则由题意知2×5π = αR①，2×10π = α(20 + R)②，由①②解得$α = \frac{π}{2}，$R = 20，所以OM = OM₁ = 30，OB = OB₁ = 40，则$M₁B₁ = \sqrt{OB² + OM₁²} = 50.$故选C.

典例 2
(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知 $A$，$B$，$C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，$\odot O_{1}$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆。若 $\odot O_{1}$ 的面积为 $4\pi$，$AB = BC = AC = OO_{1}$，则球 $O$ 的表面积为( )
A.$64\pi$
B.$48\pi$
C.$36\pi$
D.$32\pi$

答案：
典例2
(1)A
(1)如图所示，设球O的半径为R，⊙O₁的半径为r，因为⊙O₁的面积为4π，所以4π = πr²，解得r = 2.又AB = BC = AC = OO₁，所以$\frac{AB}{\sin 60^{\circ}} = 2r，$解得$AB = 2\sqrt{3}，$故$OO₁ = 2\sqrt{3}，$所以$R² = OO₁² + r² = (2\sqrt{3})² + 2² = 16，$所以球O的表面积S = 4πR² = 64π.故选A.

(2)如图，圆锥的底面半径为 1，侧面展开图是一个圆心角为 $60^{\circ}$ 的扇形。把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 $\frac{1}{3}$，则圆台的侧面积为____。

答案：
典例$2 (2)\frac{16π}{3} (2)$设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则$r = \frac{1}{3}，$由已知可得，$\frac{\pi}{3}l = 2πR，$所以l = 6.如图，作出圆锥、圆台的轴截面，则有$\frac{l - l₁}{l} = \frac{r}{R}，$解得l₁ = 4.所以圆台的侧面积为$π(R + r)l₁ = 4 × (1 + \frac{1}{3})π = \frac{16π}{3}. $

(3)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，兰州市著名景点三台阁(如图①)的屋顶部分是典型的攒尖结构。如图②所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位：$dm$)分别为 2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构的表面积为____ $dm^{2}$。
听课笔记：

答案： 典例$2 (3)34\sqrt{3} + 8 (3)$正三棱柱部分的侧面积为2×2×2 = 8(dm²)，底面积为$2×\frac{1}{2}×2×2×\sin 60° = 2\sqrt{3}(dm²).$正四棱台中，侧面梯形的高为$\sqrt{4² - (\frac{6 - 2}{2})²} = 2\sqrt{3}(dm)，$所以正四棱台的侧面积为$4×\frac{(2 + 6)×2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3}(dm²).$所以该结构的表面积为$8 + 2\sqrt{3} + 32\sqrt{3} = (34\sqrt{3} + 8)(dm²).$