《2026年金版新学案高三数学人教版》

典例 4 函数 $ y = f(x) $ 是定义在 $ [-2, 2] $ 上的减函数，且 $ f(a + 1) ＜ f(2a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是 。
听课笔记：

答案： 典例4 -1,1) 依题意得$\begin{cases}-2\leq a + 1\leq2\\-2\leq2a\leq2\\a + 1＞2a\end{cases}$，⇒ - 1≤a＜1。所以实数a的取值范围是-1,1)。

典例 5 （1）（2023·新课标Ⅰ卷）设函数 $ f(x) = 2^{x(x - a)} $ 在区间 $ (0, 1) $ 单调递减，则实数 $ a $ 的取值范围是 （ ）

A.$ (-\infty, -2 $
B.$ -2, 0) $
C.$ (0, 2 $
D.$ 2, +\infty) $

答案： 典例5
(1)D
(2)B
(1)函数y = 2ˣ在R上单调递增，而函数f(x)=2ˣ⁽ˣ⁻ᵃ⁾，函数y = x(x - a)=(x - $\frac{a}{2}$)² - $\frac{a²}{4}$在区间(0,1)上单调递减，因此$\frac{a}{2}$≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围是2,+∞)。故选D。

（2）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 - 2ax, & x \geq 1 \\ ax - 1, & x ＜ 1 \end{cases} $ 是 $ \mathbf{R} $ 上的增函数，则实数 $ a $ 的取值范围是 （ ）

A.$ (0, \frac{2}{3}) $
B.$ (0, \frac{2}{3} $
C.$ (0, 1) $
D.$ (0, 1 $
听课笔记：

答案： （2）因为函数f(x)=$\begin{cases}x^{2}-2ax,x\geq1\\ax - 1,x＜1\end{cases}$是定义在R上的增函数，所以$\begin{cases}a\leq1\\a＞0\\1 - 2a\geq a - 1\end{cases}$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$，所以实数a的取值范围为(0,$\frac{2}{3}$。故选B。

对点练 5 已知函数 $ f(x) = \ln x + 2^x $，若 $ f(x^2 - 4) ＜ 2 $，则实数 $ x $ 的取值范围是 。

答案： 对点练5.(-√5,-2)∪(2,√5) 因为函数f(x)=ln x + 2ˣ在定义域(0,+∞)上单调递增，且f
(1)=ln 1 + 2=2，所以由f(x² - 4)＜2，得f(x² - 4)＜f
(1)，所以0＜x² - 4＜1，解得 - √5＜x＜-2或2＜x＜√5，所以实数x的取值范围是(-√5,-2)∪(2,√5)。

对点练 6 若函数 $ f(x) = \frac{x + a - 3}{x - 1} $ 在 $ (a, +\infty) $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围为 。

答案： 对点练6.1,2) f(x)=$\frac{x + a - 3}{x - 1}$=$\frac{x - 1+a - 2}{x - 1}$=1 + $\frac{a - 2}{x - 1}$，因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以$\begin{cases}a - 2＜0\\a\geq1\end{cases}$，解得1≤a＜2，所以实数a的取值范围为1,2)。

（2024·新课标Ⅰ卷）已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2ax - a, & x ＜ 0 \\ e^x + \ln(x + 1), & x \geq 0 \end{cases} $ 在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增，则实数 $ a $ 的取值范围是 （ ）

A.$ (-\infty, 0 $
B.$ [-1, 0] $
C.$ [-1, 1] $
D.$ 0, +\infty) $

答案： B 因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=eˣ + ln(x + 1)单调递增，则需满足$\frac{-2a}{2×(-1)}\geq0$，解得 - 1≤a≤0，即实数a的范围是[-1,0]。故选B。

（人教 A 必修一 P100T4）已知函数 $ f(x) = 4x^2 - kx - 8 $ 在 $ [5, 20] $ 上具有单调性，求实数 $ k $ 的取值范围。

答案： $(-\infty, 40] \cup [160, +\infty)$

典例 1 函数 $ f(x)=\frac{2 - 3x}{x + 1} $ 的值域是__________。
听课笔记：

答案： 典例1 $(-\infty,-3)\cup(-3,+\infty)$ 因为$f(x)=\frac{2-3x}{x+1}=\frac{5-3(x+1)}{x+1}=\frac{5}{x+1}-3$，所以函数$f(x)=\frac{2-3x}{x+1}$的值域是$(-\infty,-3)\cup(-3,+\infty)$。

典例 2 函数 $ f(x)=\frac{2x^2 - x}{x - 1} $ 的值域是__________。
听课笔记：

答案： 典例2 $(-\infty,-2\sqrt{2}+3]\cup[2\sqrt{2}+3,+\infty)$ 设$t = x - 1$，则$x = t + 1$，$y=\frac{2x^{2}-x}{x-1}=\frac{2(t + 1)^{2}-(t + 1)}{t}=(2t+\frac{1}{t})+3\in(-\infty,-2\sqrt{2}+3]\cup[2\sqrt{2}+3,+\infty)$。