《2026年金版新学案高三数学人教版》

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = ab$，且 $2\cos A\sin B = \sin C$，则该三角形的形状是 （ ）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形

答案： 对点练 1：C 因为$a^{2} + b^{2} - c^{2} = ab$，所以由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，又$C\in(0,\pi)$，所以$C=\frac{\pi}{3}$.由$2\cos A\sin B=\sin C$及正弦定理得$\cos C=\frac{\sin C}{2\sin B}=\frac{c}{2b}=\frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2bc·2b}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，所以$b^{2}=a^{2}$，即$b = a$，又$C=\frac{\pi}{3}$，故该三角形为等边三角形.故选C.

(2021·新高考Ⅱ卷) 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，$b = a + 1$，$c = a + 2$。
(1) 若 $2\sin C = 3\sin A$，求 $\triangle ABC$ 的面积；
(2) 是否存在正整数 $a$，使得 $\triangle ABC$ 为钝角三角形？若存在，求 $a$；若不存在，说明理由。

答案： 对点练 2：解：
(1)由$2\sin C = 3\sin A$及正弦定理，得$2c = 3a$.
又$c = a + 2$，所以$a = 4,c = 6$，
由余弦定理，得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{25 + 36 - 16}{2×5×6}=\frac{3}{4}$.
又$A\in(0,\pi)$，所以$\sin A=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}×5×6×\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.
(2)存在.
由题意知$c＞b＞a$，要使$\triangle ABC$为钝角三角形，需$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}+(a + 1)^{2}-(a + 2)^{2}}{2× a×(a + 1)}=\frac{a - 3}{2a}＜0$，得$0＜a＜3$.
因为$a$为正整数，所以$a = 1$或$a = 2$.
当$a = 1$时，$b = 2,c = 3$，此时不能构成三角形；
当$a = 2$时，$b = 3,c = 4$，满足题意.
综上，存在正整数$a = 2$，使得$\triangle ABC$为钝角三角形.

典例 2
[答题规范] (13 分) (2024·新课标Ⅰ卷) 记 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $\sin C = \sqrt{2}\cos B$，$a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2}ab$。
(1) 求 $B$；
(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $3 + \sqrt{3}$，求 $c$。
思路分析
(1) $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2}ab \to 求 \cos C \to 求 C \to 求 \cos B \to 求 B$
(2) $A + B + C = \pi \to \sin A = \sin(B + C) \to a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}c \to 求 c$

答案： 典例 2
(1) 因为 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2}ab$，
所以由余弦定理得 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 [2 分]
又 $0 ＜ C ＜ \pi$，所以 $C = \frac{\pi}{4}$。 [3 分]
所以 $\sqrt{2}\cos B = \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\cos B = \frac{1}{2}$。 [5 分]
又 $0 ＜ B ＜ \pi$，所以 $B = \frac{\pi}{3}$。 [6 分]
(2) $\sin A = \sin(\pi - B - C) = \sin(B + C) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$。 [8 分]
由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$，得 $\frac{a}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} = \frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
所以 $a = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}c$。 [10 分]
所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}c^{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + \sqrt{3}$，
得 $c = 2\sqrt{2}$。 [13 分]