《2026年金版新学案高三数学人教版》

(多选) 如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 $ 128 $ 米，转盘直径为 $ 120 $ 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转 $ t $ 分钟，当 $ t = 15 $ 时，游客随舱第一次旋转至距离地面最远处. 以下关于摩天轮的说法中正确的为 （ ）

A.摩天轮离地面最近的距离为 $ 4 $ 米
B.若旋转 $ t $ 分钟后，游客距离地面的高度为 $ h $ 米，则 $ h = -60\cos \frac{\pi}{15}t + 68 $
C.若在 $ t_1,t_2 $ 时刻，游客距离地面的高度相等，则 $ t_1 + t_2 $ 的最小值为 $ 30 $

D.$ \exists t_1,t_2 \in [0,20] $，使得游客在该时刻距离地面的高度均为 $ 90 $ 米

答案： 对点练6.BC 由题意知，摩天轮离地面最近的距离为$128 - 120 = 8$（米），故A不正确；$t$分钟后，转过的角度为$\frac{\pi}{15}t$，则$h = 60 - 60\cos\frac{\pi}{15}t + 8=-60\cos\frac{\pi}{15}t + 68$，故B正确；$h=-60\cos\frac{\pi}{15}t + 68$，周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{15}} = 30$，由余弦型函数的性质可知，若$t_1 + t_2$取最小值，则$t_1,t_2\in[0,30]$，又高度相等，则$t_1,t_2$关于$t = 15$对称，则$\frac{t_1 + t_2}{2}=15$，则$t_1 + t_2 = 30$，故C正确；令$0\leq\frac{\pi}{15}t\leq\pi$，解得$0\leq t\leq15$，令$\frac{\pi}{15}t\leq2\pi$，解得$15\leq t\leq30$，则$h$在$t\in[0,15]$上单调递增，在$t\in[15,20]$上单调递减，当$t = 15$时，$h_{\max}=128$，当$t = 20$时，$h=-60\cos(\frac{\pi}{15}×20)+68=98＞90$，所以$h = 90$在$t\in[0,20]$只有一个解，故D不正确.故选BC.

已知函数 $ f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) $，若函数 $ g(x) = f(x) - a(a \in \mathbf{R}) $ 在 $ x \in [0,\frac{3\pi}{2}] $ 上恰有三个零点 $ x_1,x_2,x_3(x_1 ＜ x_2 ＜ x_3) $，则 $ x_3 - x_1 $ 的值为 .

答案： 对点练7.$\pi$ 因为当$x\in[0,\frac{3\pi}{2}]$时，$2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{10\pi}{3}]$，且函数$g(x)=f(x)-a(a\in\mathbf{R})$在$x\in[0,\frac{3\pi}{2}]$上恰有三个零点$x_1,x_2,x_3(x_1＜x_2＜x_3)$，所以$\frac{1}{2}(2x_1+\frac{\pi}{3}+2x_2+\frac{\pi}{3})=\frac{3\pi}{2}$，$\frac{1}{2}(2x_2+\frac{\pi}{3}+2x_3+\frac{\pi}{3})=\frac{5\pi}{2}$，两式相减得$x_3 - x_1=\pi$.

1. [真题再现]
(2017·全国Ⅰ卷) 已知曲线 $ C_1:y = \cos x,C_2:y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3}) $，则下面结论正确的是 （ ）

A.把 $ C_1 $ 上各点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，得到曲线 $ C_2 $
B.把 $ C_1 $ 上各点的横坐标伸长到原来的 $ 2 $ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度，得到曲线 $ C_2 $
C.把 $ C_1 $ 上各点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $ \frac{\pi}{6} $ 个单位长度，得到曲线 $ C_2 $
D.把 $ C_1 $ 上各点的横坐标缩短到原来的 $ \frac{1}{2} $，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $ \frac{\pi}{12} $ 个单位长度，得到曲线 $ C_2 $

答案： 1.D 易知$C_1:y = \cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$，把曲线$C_1$上的各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$的图象，再把所得函数的图象向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位长度，可得函数$y=\sin[2(x+\frac{\pi}{12})+\frac{\pi}{2}]=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$的图象，即曲线$C_2$.故选D.

(人教 A 必修一 P239T3) 函数 $ y = \frac{2}{3}\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}) $ 的图象与正弦曲线有什么关系？

答案： 函数$ y = \frac{2}{3}\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4}) $的图象是由正弦曲线经过向右平移$ \frac{\pi}{4} $个单位长度、横坐标伸长到原来的2倍、纵坐标缩短到原来的$ \frac{2}{3} $倍得到的。

2. [真题再现]
(2023·新课标Ⅱ卷) 已知函数 $ f(x) = \sin(\omega x + \varphi) $，如图，$ A,B $ 是直线 $ y = \frac{1}{2} $ 与曲线 $ y = f(x) $ 的两个交点，若 $ |AB| = \frac{\pi}{6} $，则 $ f(\pi) = $ .

答案： 2.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 设$A(x_1,\frac{1}{2}),B(x_2,\frac{1}{2})$，由$|AB|=\frac{\pi}{6}$可得$x_2 - x_1=\frac{\pi}{6}$，由$\sin x=\frac{1}{2}$可知，$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$或$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$.由图可知，$\omega x_2+\varphi-(\omega x_1+\varphi)=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$，即$\omega(x_2 - x_1)=\frac{2\pi}{3}$，所以$\omega = 4$.因为$f(\frac{2\pi}{3})=\sin(\frac{8\pi}{3}+\varphi)=0$，所以$\frac{8\pi}{3}+\varphi=k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$\varphi=-\frac{8\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$所以$f(x)=\sin(4x-\frac{8\pi}{3}+k\pi)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3}+k\pi)$，所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$或$f(x)=-\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，又因为$f(0)＜0$，所以$f(x)=\sin(4x-\frac{2\pi}{3})$，所以$f(\pi)=\sin(4\pi-\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(人教 A 必修一 P241T4) 函数 $ y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \pi) $ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 .

答案： $ y = 2\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) $