《2026年金版新学案高三数学人教版》

典例 1 (2025·河南郑州模拟)
设函数 $ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上可导，其导函数为 $ f'(x) $，且函数 $ y = (1 - x)f'(x) $ 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )


A.函数 $ f(x) $ 有极大值 $ f(2) $ 和极小值 $ f(1) $
B.函数 $ f(x) $ 有极大值 $ f(-2) $ 和极小值 $ f(1) $
C.函数 $ f(x) $ 有极大值 $ f(2) $ 和极小值 $ f(-2) $
D.函数 $ f(x) $ 有极大值 $ f(-2) $ 和极小值 $ f(2) $
听课笔记：

答案： 典例1 D

典例 2 已知函数 $ f(x) = \ln x - ax (a \in \mathbf{R}) $.
(1)当 $ a = \frac{1}{2} $ 时，求 $ f(x) $ 的极值；
(2)讨论函数 $ f(x) $ 在定义域内极值点的个数.
听课笔记：

答案： 典例2 解：
(1)当$a = \frac{1}{2}$时，$f(x)=\ln x - \frac{1}{2}x,x\in(0,+\infty)$，且$f^\prime(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x = 2$，则当$x$变化时，$f^\prime(x),f(x)$的变化情况如下表：
$x$ $(0,2)$ $2$ $(2,+\infty)$
$f^\prime(x)$ + $0$ -
$f(x)$ 单调递增 $\ln 2 - 1$ 单调递减
故$f(x)$极大值$=f(2)=\ln 2 - 1$，无极小值.
(2)$f^\prime(x)=-\frac{1}{x}-a=\frac{1 - ax}{x}(x＞0)$.
当$a\leq0$时，$f^\prime(x)＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立，则函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，无极值点；
当$a＞0$时，若$x\in(0,\frac{1}{a})$，则$f^\prime(x)＞0$，若$x\in(\frac{1}{a},+\infty)$，则$f^\prime(x)＜0$，故函数$f(x)$在$x=\frac{1}{a}$处有极大值.
综上可知，当$a\leq0$时，函数$f(x)$无极值点；当$a＞0$时，函数$f(x)$有一个极大值点，即$x=\frac{1}{a}$.

典例 3 (1)(2025·山东威海模拟)函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + a^2 $ 在 $ x = 1 $ 处取得极值 10，则 $ a + b = $( )

A.-7
B.0
C.-7 或 0
D.-15 或 6

答案： 典例3
(1)A

(2)(2025·江苏苏州模拟)已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + a\ln x $ 有两个极值点，则实数 $ a $ 的取值范围为( )

A.$(-\infty, 2$
B.$(-\infty, 2)$
C.$(0, 2$
D.$(0, 2)$
听课笔记：

答案： 典例3
(2)D

对点练 1. (2025·福建福州质检)已知函数 $ f(x) = x(x - c)^2 $ 在 $ x = 2 $ 处有极小值，则 $ c $ 的值为（ ）

A.2
B.4
C.6
D.2 或 6

答案： 对点练1. A

对点练 2. (2025·广西桂林模拟)函数 $ f(x) = \ln x + \frac{1}{2}x^2 - ax (x ＞ 0) $ 有极值，则实数 $ a $ 的取值范围是______.

答案： 对点练2.$(2,+\infty)$

典例 4 (1)(2025·广东佛山模拟)函数 $ f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x $ 的最大值为______.

答案： 典例4
(1)$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数 $ f(x) = |2x - 1| - 2\ln x $ 的最小值为______.
听课笔记：

答案： 典例4
(2)1