《2026年金版新学案高三数学人教版》

对点练 3.(多选)数列 $ \{ a_n \} $ 满足 $ a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + 2a_n}(n \in \mathbf{N}^*) $，$ a_1 = 1 $，则下列结论正确的是（ ）

A.$ \frac{2}{a_{10}} = \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_{17}} $
B.$ \{ 2^{\frac{1}{a_n}} \} $ 是等比数列
C.$ (2n - 1)a_n = 1 $
D.$ 3a_5a_{17} = a_{49} $

答案： 对点练3.ABC 由$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2a_{n}}$，可得$\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1 + 2a_{n}}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n}} + 2$，所以$\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} = 2$，且$\frac{1}{a_{1}} = 1$，所以数列$\{ \frac{1}{a_{n}}\}$是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以$\frac{1}{a_{n}} = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1$，则$(2n - 1)a_{n} = 1$，其中$n \in \mathbf{N}^{*}$，故C正确；$\frac{2^{n - 1}}{a_{n}} = 2^{n - 1} × (2n - 1) = 2^{n}$，所以数列$\{ 2\frac{n - 1}{a_{n}}\}$是等比数列，故B正确；
由等差中项的性质可得$\frac{2}{a_{10}} = \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{17}}$，故A正确；由上可知$a_{n} = \frac{1}{2n - 1}$，则$3a_{5}a_{17} = 3 × \frac{1}{2 × 5 - 1} × \frac{1}{2 × 17 - 1} = \frac{1}{99} × a_{49} = \frac{1}{2 × 49 - 1} = \frac{1}{97}$，所以$3a_{5}a_{17} \neq a_{49}$，故D错误。故选ABC。

典例 6 数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_1 = 1,a_{n + 1} = 2a_n^2 $，则数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式为 $ a_n = $__________.
听课笔记：

答案： 典例6 $2^{n - 1} - 1$ 取以2为底的对数，得$\log_{2}a_{n + 1} = \log_{2}(2a_{n}^{2})$，则$\log_{2}a_{n + 1} = \log_{2}2 + 2\log_{2}a_{n}$，设$b_{n} = \log_{2}a_{n}$，则$b_{n + 1} = 1 + 2b_{n}$，则$b_{n + 1} + 1 = 2(b_{n} + 1)$，所以$\{ b_{n} + 1\}$是以$b_{1} + 1 = 1$为首项，2为公比的比数列，所以$b_{n} + 1 = 2^{n - 1}$，即$b_{n} = 2^{n - 1} - 1$，即$\log_{2}a_{n} = 2^{n - 1} - 1$，故$a_{n} = 2^{2^{n - 1} - 1}$。

对点练 4.数列 $ \{ a_n \} $ 中，$ a_1 = 2,a_{n + 1} = a_n^2 $，则数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式为 $ a_n = $__________.

答案： 对点练4.$2^{n - 1}$ 取以$a_{1} = 2$为底的对数得到$\log_{2}a_{n + 1} = \log_{2}a_{n}^{2} = 2\log_{2}a_{n}$，设$b_{n} = \log_{2}a_{n}$，则有$b_{n + 1} = 2b_{n}$，所以$\{ b_{n}\}$是以$b_{1} = \log_{2}a_{1} = 1$为首项，2为公比的等比数列，所以$b_{n} = 2^{n - 1}$，所以$\log_{2}a_{n} = 2^{n - 1}$，$a_{n} = 2^{2^{n - 1}}$。

1. 公式法
(1) 等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和公式：
$S_{n}=\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\frac {n(n - 1)d}{2}$.
(2) 等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和公式：
$S_{n}=\begin{cases}na_{1},q=1, \\ \frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\_ ,q≠1.\end{cases}$

答案： 1.
(2)$\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}$