《2026年金版新学案高三数学人教版》

函数 $ f(x) = 2^x - \frac{2}{x} - a $ 的一个零点在区间 $ (1, 2) $ 内，则实数 $ a $ 的取值范围是（ ）

A.$ (0, 3) $
B.$ (1, 3) $
C.$ (1, 2) $
D.$ 2, +\infty) $

答案： 3.A 因为函数y = 2ˣ，y = - $\frac{2}{x}$在(0,+∞)上单调递增，所以函数f(x)=2ˣ - $\frac{2}{x}$ - a在(0,+∞)上单调递增，由函数f(x)=2ˣ - $\frac{2}{x}$ - a的一个零点在区间(1,2)内，得f
(1)·f
(2)=(2 - 2 - a)(4 - 1 - a)=(-a)×(3 - a)＜0，解得0＜a＜3。故选A。

(2024·山东菏泽三模) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq 0, \\ \ln(1 - x), & 0 ＜ x ＜ 1, \end{cases} $ 若曲线 $ y = f(x) $ 与直线 $ y = ax $ 恰有 $ 2 $ 个公共点，则实数 $ a $ 的取值范围是____.

答案：
4.-1,2) 当x≤0时，f(x)=x² + 2x，其在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增，且f'(x)=2x + 2，则f'
(0)=2；当0＜x＜1时，f(x)=ln(1 - x)，f'(x)= - $\frac{1}{1 - x}$＜0，其在(0,1)上单调递减，且$\lim\limits_{x \to 1}f'(x)= - 1$。作出f(x)的图象 易知a的取值范围是-1,2)。

(2025·苏北四市联考) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2x, & x \leq 0, \\ |1 - \ln x|, & x ＞ 0, \end{cases} $ 若 $ f(x) = m $ 存在四个不相等的实数根 $ x_1, x_2, x_3, x_4 $，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $，则 $ x_4 - (x_1 + x_2)x_3 $ 的最小值是____.

答案：
5.2$\sqrt{2}$e 作出函数f(x)=$\begin{cases}-x² - 2x,x\leq0\\|1 - lnx|,x＞0\end{cases}$的图象与直线y = m 因为f(x)=m存在四个不相等的实数根x₁,x₂,x₃,x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，所以x₁ + x₂ = - 2，x₃,x₄＞0，且1 - lnx₃ = - (1 - lnx₄)，则lnx₃ + lnx₄ = 2，即lnx₃x₄ = 2，得x₃x₄ = e²，则x₄ - (x₁ + x₂)x₃ = x₄ + 2x₃≥2$\sqrt{2x₃x₄}$ = 2$\sqrt{2}$e，当且仅当x₄ = 2x₃，即x₃ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$e，x₄ = $\sqrt{2}$e时等号成立。故x₄ - (x₁ + x₂)x₃的最小值是2$\sqrt{2}$e。

(2024·新课标Ⅱ卷) 设函数 $ f(x) = a(x + 1)^2 - 1 $，$ g(x) = \cos x + 2ax $. 当 $ x \in (-1, 1) $ 时，曲线 $ y = f(x) $ 与 $ y = g(x) $ 恰有一个交点，则 $ a = $（ ）

A.-1
B.$ \frac{1}{2} $
C.1
D.2

答案： 1.D 由题意知f(x)=g(x)，则a(x + 1)² - 1 = cosx + 2ax，即cosx = a(x² + 1) - 1。令h(x)=cosx - a(x² + 1) + 1。易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(-1,1)上有唯一零点，所以h
(0)=0，即cos0 - a(0 + 1) + 1 = 0，得a = 2。故选D。

1. (人教 A 必修一 P156T13) 有一道题“若函数 $ f(x) = 24ax^2 + 4x - 1 $ 在区间 $ (-1, 1) $ 内恰有一个零点，求实数 $ a $ 的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由 $ f(-1)f(1) = (24a - 5)(24a + 3) ＜ 0 $，解得 $ -\frac{1}{8} ＜ a ＜ \frac{5}{24} $.
所以，实数 $ a $ 的取值范围是 $ \left( -\frac{1}{8}, \frac{5}{24} \right) $.
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.

答案： 不正确。理由：未考虑$a=0$（一次函数）、二次函数判别式为0（重根）及端点函数值为0的情况。
正确解答：
1. 当$a=0$时，$f(x)=4x-1$，零点为$x=\frac{1}{4}\in(-1,1)$，符合题意。
2. 当$a\neq0$时，$f(x)=24ax^2+4x-1$为二次函数，$\Delta=16+96a$。
2.1 若$\Delta=0$，即$16+96a=0$，$a=-\frac{1}{6}$。此时零点$x=-\frac{4}{2×24×(-\frac{1}{6})}=\frac{1}{2}\in(-1,1)$，符合题意。
2.2 若$f(-1)f(1)＜0$，$f(-1)=24a-5$，$f(1)=24a+3$，则$(24a-5)(24a+3)＜0$，解得$-\frac{1}{8}＜a＜\frac{5}{24}$。
2.3 若$f(-1)=0$，则$a=\frac{5}{24}$，此时零点为$x=-1$（舍）和$x=\frac{1}{5}\in(-1,1)$，符合题意。
2.4 若$f(1)=0$，则$a=-\frac{1}{8}$，此时零点为$x=1$（舍）和$x=\frac{1}{3}\in(-1,1)$，符合题意。
综上，$a=-\frac{1}{6}$或$-\frac{1}{8}\leq a\leq\frac{5}{24}$。
实数$a$的取值范围是$\left\{-\frac{1}{6}\right\}\cup\left[-\frac{1}{8},\frac{5}{24}\right]$。

2. (人教 A 必修一 P160T4) 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x - 3, & x \leq 0, \\ -2 + \ln x, & x ＞ 0, \end{cases} $ 求使方程 $ f(x) = k $ 的实数解个数分别为 $ 1, 2, 3 $ 时 $ k $ 的相应取值范围.

答案： 解：
1. 分析函数图像特征
当 $ x \leq 0 $ 时，$ f(x) = x^2 + 2x - 3 $ 为开口向上的二次函数，对称轴 $ x = -1 $，顶点 $ (-1, -4) $，在 $ (-\infty, -1) $ 递减、$ (-1, 0 $ 递增，$ f(0) = -3 $，$ x \to -\infty $ 时 $ f(x) \to +\infty $。
当 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) = -2 + \ln x $ 为单调递增对数函数，$ x \to 0^+ $ 时 $ f(x) \to -\infty $，$ x \to +\infty $ 时 $ f(x) \to +\infty $，过点 $ (1, -2) $。
2. 方程 $ f(x) = k $ 的解的个数即 $ y = k $ 与 $ f(x) $ 图像交点个数
解的个数为 1：$ k ＜ -4 $（此时 $ y = k $ 仅与 $ x ＞ 0 $ 部分有 1 个交点）。
解的个数为 2：$ k = -4 $ 或 $ k ＞ -3 $（$ k = -4 $ 时与二次函数顶点及对数函数各 1 个交点；$ k ＞ -3 $ 时与二次函数、对数函数各 1 个交点）。
解的个数为 3：$ -4 ＜ k \leq -3 $（此时 $ y = k $ 与二次函数 2 个交点、对数函数 1 个交点）。
结论：
解的个数为 1 时，$ k \in (-\infty, -4) $；
解的个数为 2 时，$ k = -4 $ 或 $ k \in (-3, +\infty) $；
解的个数为 3 时，$ k \in (-4, -3 $。