《2026年金版新学案高三数学人教版》

典例 1
（2024·南昌模拟节选）已知函数 $ f(x)=(x - a)^2 + be^x(a,b\in\mathbf{R}) $，若 $ a = 0 $ 时，函数 $ y = f(x) $ 有 3 个零点，求实数 $ b $ 的取值范围.
听课笔记：

答案：
解：a=0时，f(x)=x²+beˣ，函数y=f(x)有3个零点，即关于x的方程f(x)=0有3个根，也即关于x的方程$b=- \frac{x²}{eˣ}$有3个根。
令$g(x)=- \frac{x²}{eˣ}，$则直线y=b与$g(x)=- \frac{x²}{eˣ}$的图象有3个交点。
$g'(x)= \frac{x(x - 2)}{eˣ}，$由g'(x)＜0，解得0＜x＜2；由g'(x)＞0，解得x＜0或x＞2，所以g(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。
g
(0)=0，$g(2)=- \frac{4}{e²}，$当x＞0时，g(x)＜0；当x→+∞时，g(x)→0；当x→-∞时，g(x)→-∞。
作出g(x)的大致图象如图所示，作出直线y=b。

由图可知，若直线y=b与g(x)的图象有3个交点，则$- \frac{4}{e²}＜b＜0，$即实数b的取值范围为$(- \frac{4}{e²},0)。$

设函数 $ f(x)=\ln x+\frac{m}{x},m\in\mathbf{R} $，讨论函数 $ g(x)=f'(x)-\frac{x}{3} $ 零点的个数.

答案：
解：由题意知$g(x)=f'(x)- \frac{x}{3}= \frac{m}{x²}- \frac{x}{3}(x＞0)，$令g(x)=0，得$m=- \frac{1}{3}x³+x(x＞0)。$
设$φ(x)=- \frac{1}{3}x³+x(x＞0)，$则φ'(x)=-x²+1=-(x - 1)(x + 1)。
当x∈(0,1)时，φ'(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当x∈(1,+∞)时，φ'(x)＜0，φ(x)在(1,+∞)上单调递减。
所以x=1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，所以x=1也是φ(x)的最大值点，所以φ(x)的最大值为$φ(1)= \frac{2}{3}。$
结合y=φ(x)的图象（如图）可知，
①当$m＞ \frac{2}{3}$时，函数g(x)无零点；
②当$m= \frac{2}{3}$时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0＜m＜ \frac{2}{3}时，函数g(x)有两个零点；
④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点。
综上所述，当$m＞ \frac{2}{3}$时，函数g(x)无零点；当$m= \frac{2}{3}$或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0＜m＜ \frac{2}{3}时，函数g(x)有两个零点。

典例 2
已知函数 $ f(x)=(2a + 1)x^2 - 2x^2\ln x - 4 $，e 是自然对数的底数，$ \forall x＞0,e^x＞x + 1 $.
（1）求 $ f(x) $ 的单调区间；
（2）记 $ p:f(x) $ 有两个零点；$ q:a＞\ln 2 $. 求证：$ p $ 是 $ q $ 的充要条件.
要求：先证充分性，再证必要性.
听课笔记：

答案： 解：
(1)因为f(x)=(2a + 1)x² - 2x²lnx - 4，所以f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=4x(a - lnx)。
因为当0＜x＜eᵃ时，f'(x)＞0，所以f(x)在(0,eᵃ)上单调递增；因为当x＞eᵃ时，f'(x)＜0，所以f(x)在(eᵃ,+∞)上单调递减。所以f(x)的单调递增区间为(0,eᵃ)，单调递减区间为(eᵃ,+∞)。
(2)证明：先证充分性。
由
(1)知，当x = eᵃ时，f(x)取得最大值，即f(x)的最大值为f(eᵃ)=e²ᵃ - 4。由f(x)有两个零点，得e²ᵃ - 4＞0，解得a＞ln2。所以a＞ln2。
再证必要性。
因为a＞ln2，所以e²ᵃ＞4。所以f(eᵃ)=e²ᵃ - 4＞0。因为a＞ln2＞0，x＞0，eˣ+1，所以$e²ᵃ - 4＞\frac{4a + 1}{e²ᵃ}-4$＜\frac{4a + 1}{2a}-4= \frac{1}{2a}-2＜\frac{1}{2ln2}-2=\frac{1}{ln4}-2＜0。所以∃x₁∈(e⁻ᵃ,eᵃ)，使f(x₁)=0；因为f(eᵃ⁺¹)=-e²ᵃ⁺² - 4＜0，所以∃x₂∈(eᵃ,eᵃ⁺¹)，使f(x₂)=0。因为f(x)在(0,eᵃ)上单调递增，在(eᵃ,+∞)上单调递减，所以∀x∈(0,+∞)，x≠x₁且x≠x₂，易得f(x)≠0。所以当a＞ln2时，使f(x)有两个零点。
综上所述，p是q的充要条件。