《2026年金版新学案高三数学人教版》

1. （多选）下列结论错误的是（ ）

A.复数$z = a - bi(a,b∈R)$中，虚部为$b$
B.复数可以比较大小
C.已知$z = a + bi(a,b∈R)$，当$a = 0$时，复数$z$为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模

答案： ABC

2. （链接人教 A 必修二 P69 例 1）若复数$z = (x^2 - 1) + (x - 1)i$为纯虚数，则实数$x$的值为（ ）

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$-1$或$1$

答案： A

3. （链接人教 A 必修二 P73T5）若$z = 3 + 4i$，则$|z| =$（ ）

A.$\sqrt{5}$
B.$5$
C.$7$
D.$25$

答案： B

4. （链接人教 A 必修二 P73T6）已知复数$z$满足$(2 - i)\overline{z} = 1 - 2i$，其中$i$为虚数单位，则$z$在复平面内对应的点在（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

1. （2020·全国Ⅲ卷）复数$\frac{1}{1 - 3i}$的虚部是（ ）

A.$-\frac{3}{10}$
B.$-\frac{1}{10}$
C.$\frac{1}{10}$
D.$\frac{3}{10}$

答案： D

2. 设$a∈R$，$(a + i)(1 - ai) = 2$，则$a =$（ ）

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： C

3. （2025·河南新乡模拟）已知$z = (1 - 3i)(a + i)(a∈R)$为纯虚数，则$a =$（ ）

A.$3$
B.$-3$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

答案： 【解析】：$z=(1 - 3i)(a + i)=a + i - 3ai - 3i^2=(a + 3) + (1 - 3a)i$，因为$z$为纯虚数，所以实部$a + 3 = 0$且虚部$1 - 3a ≠ 0$，解得$a = -3$。
【答案】：B

4. （2024·新课标Ⅱ卷）已知$z = -1 - i$，则$|z| =$（ ）

A.$0$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$

答案： C

5. 已知复数$z$满足$\frac{z + i}{z} = i$，则$\overline{z} =$____.

答案： $\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

典例 1
(1)（2025·沈阳质量监测（三））已知复数$z = \left(\frac{1 - i}{1 + i}\right)^2$，则$z =$（ ）
A.$i$
B.$-i$
C.$1$
D.$-1$

答案： D