《2026年金版新学案高三数学人教版》

(1) 已知 $ \log_{a}\frac{1}{2} = m $，$ \log_{a}3 = n $，则 $ a^{m + 2n} = $（ ）

A.$ 3 $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ 9 $
D.$ \frac{9}{2} $

答案： 典例2
(1)D
(2)A
(1)因为$\log _{\frac{1}{2}}a=m,\log _{3}3=n$,所以$a^{m}=\frac{1}{2},a^{2n}=3^{2}$,所以$a^{m+2n}=a^{m} · a^{2n}=\frac{1}{2} × 3^{2}=\frac{9}{2}$,故选 D.

(2) 设 $ 2^{a} = 5^{b} = m $，且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $，则 $ m = $（ ）

A.$ \sqrt{10} $
B.$ 10 $
C.$ 20 $
D.$ 100 $

答案： 典例2
(1)D
(2)A
(2)因为$2^{a}=5^{b}=m$,所以$\log _{2}m=a,\log _{5}m=b$,所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{\log _{2}m}+\frac{1}{\log _{5}m}=\log _{m}2+\log _{m}5=\log _{m}10=2$,所以$m^{2}=10$,所以$m=\sqrt{10}$(舍$m=$$-\sqrt{10}$).故选 A.

已知 $ 2^{a} = 5 $，$ b = \log_{8}3 $，则 $ 4^{a - 3b} = $（ ）

A.$ 25 $
B.$ 5 $
C.$ \frac{25}{9} $
D.$ \frac{5}{3} $

答案： 对点练1.C 由$2^{a}=5$两边取以 2 为底的对数,得$a=\log _{2}5$.又$b=\log _{8}3=\frac{\log _{2}3}{\log _{2}8}=\frac{\log _{2}3}{3}$,所以$a-3b=\log _{2}5-\log _{2}3=\log _{2}\frac{5}{3}=\frac{\log _{4}\frac{5}{3}}{\log _{4}2}=2\log _{4}\frac{5}{3}=\log _{4}\frac{25}{9}$,所以$4^{-3b}=4^{\log _{4}\frac{25}{9}}=\frac{25}{9}$.故选 C.

计算：
(1) $ \log_{5}35 + 2\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{2} - \log_{5}\frac{1}{50} - \log_{5}14 $；
(2) $ (\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}} + e^{\ln 3} + \log_{\frac{1}{4}}\sqrt{2} - \log_{3}4 · \log_{2}3 $。

答案： 对点练2.解：
(1)原式$=\log _{5}35-\log _{5}\frac{1}{50}-\log _{5}14+\log _{\frac{1}{2}}(\sqrt{2})^{2}=\log _{5}\frac{35}{50} × 14+$$\log _{\frac{1}{2}}2=\log _{5}125-1=3-1=2$.
(2)原式$=(\frac{2}{3})^{3 × (-\frac{1}{2})}+3-\frac{1}{4}\log _{2}(2^{\frac{1}{2}})-2\log _{2} · \log _{2}3=\frac{9}{4}+3-\frac{1}{4}-2=3$.

(1)（2024·北京卷）生物丰富度指数 $ d = \frac{S - 1}{\ln N} $ 是河流水质的一个评价指标，其中 $ S $，$ N $ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 $ d $ 越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 $ S $ 没有变化，生物个体总数由 $ N_{1} $ 变为 $ N_{2} $，生物丰富度指数由 $ 2.1 $ 提高到 $ 3.15 $，则（ ）

A.$ 3N_{2} = 2N_{1} $
B.$ 2N_{2} = 3N_{1} $
C.$ N_{2}^{3} = N_{1}^{2} $
D.$ N_{2}^{2} = N_{1}^{3} $

答案： 典例3
(1)D
(2)CD
(1)由题意得$\frac{S-1}{\ln N_{1}}=2.1,\frac{S-1}{\ln N_{2}}=3.15$,则$2.1\ln N_{1}=3.15\ln N_{2}$,所以$2\ln N_{1}=3\ln N_{2}$,即$\ln N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$.故选 D.

(2)（多选）（2025·湖南长沙模拟）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生 $ \beta $ 衰变，其半衰期约是 $ 12.43 $ 年。样本中氚的质量 $ N $ 随时间 $ t $（单位：年）的衰变规律满足 $ N = N_{0} · 2^{-\frac{t}{12.43}} $，其中 $ N_{0} $ 表示氚原有的质量，则（参考数据：$ \lg 2 \approx 0.301 $）（ ）

A.$ t = 12.43\log_{2}\frac{N}{N_{0}} $
B.经过 $ 24.86 $ 年后，样本中的氚元素会全部消失
C.经过 $ 62.15 $ 年后，样本中的氚元素变为原来的 $ \frac{1}{32} $
D.若 $ x $ 年后，样本中氚元素的含量为 $ 0.4N_{0} $，则 $ x ＞ 16 $

答案： 典例3
(1)D
(2)CD
(2)由题意得$N=N_{0} · 2^{-\frac{t}{12.43}}$,左右同时取对数得$\log _{2}\frac{N}{N_{0}}=-\frac{t}{12.43}$,故得$t=-12.43\log _{2}\frac{N}{N_{0}}$,故 A 错误;当$t=24.86$时,$N=N_{0} · 2^{-\frac{24.86}{12.43}}=2^{-2} · N_{0}=\frac{1}{4}N_{0}$,故 B 错误;而当$t=62.15$时,$N=N_{0} · 2^{-\frac{62.15}{12.43}}=$$2^{-5} · N_{0}=\frac{1}{32}N_{0}$,得到经过 62.15 年后,样本中的氡元素变为原来的$\frac{1}{32}$,故 C 正确;由题意得$0.4N_{0}=N_{0} · 2^{-\frac{t}{12.43}}$,化简得$x=-12.43\log _{2}\frac{0.4N_{0}}{N_{0}}=-12.43\log _{2}\frac{2}{5}=-12.43(\log _{2}2-\log _{2}5)=-12.43(1-\frac{\lg 5}{\lg 2})$,将$\lg 2 \approx 0.301$代入其中,可得$x \approx -12.43(1-\frac{1-0.301}{0.301}) \approx 16.44＞16$,故 D 正确.故选 CD.