《2026年金版新学案高三数学人教版》

2. 若偶函数$f(x)$在区间$[-2,-1]$上单调递减，则函数$f(x)$在区间$[1,2]$上（ ）

A.单调递增，且有最小值$f(1)$
B.单调递增，且有最大值$f(1)$
C.单调递减，且有最小值$f(2)$
D.单调递减，且有最大值$f(2)$

答案： 2.A 偶函数$f(x)$在区间$[-2,-1]$上单调递减，由偶函数的图象关于$y$轴对称，则有$f(x)$在$[1,2]$上单调递增，即有最小值为$f(1)$，最大值为$f(2)$.故A正确.

3. (多选)(链接人教 A 必修一 P84 例 6)下列函数中为偶函数的是（ ）

A.$f(x)=x+\frac{1}{x}$
B.$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
C.$f(x)=|\ln x|$
D.$f(x)=2^{|x|}$

答案： 3.BD 对于A,$f(-x)=-x - \frac{1}{x} = -f(x)$，为奇函数；对于B,$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)$，为偶函数；对于C,$f(x)$的定义域为$\{x|x ＞ 0\}$，不关于原点对称，为非奇非偶函数；对于D,$f(-x)=2^{|-x|}=2^{|x|}=f(x)$，为偶函数. 故选BD.

4. 已知$f(x)=ax^{2}+bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，那么$a + b$的值是（ ）

A.$-\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： 4.B 因为$f(x)=ax^2 + bx$是定义在$[a - 1,2a]$上的偶函数，所以$a - 1 + 2a = 0$，所以$a = \frac{1}{3}$.又$f(-x)=ax^2 - bx = ax^2 + bx = f(x)$，所以$b = 0$，所以$a + b = \frac{1}{3}$. 故选B.

5. (链接人教 A 必修一 P214T15)已知$f(x)$是定义在$R$上的周期为$3$的奇函数，且$f(-1)=2f(10)+3$，则$f(2024)+f(2025)+f(2026)=$____.

答案： 5.0 由题意知$f(0)=0$,$f(10)=f(3×3 + 1)=f(1)$，又$f(-1)=2f(10)+3$，且$f(-1)= -f(1)$，所以$f(-1)=2f(1)+3$，所以$-3f(1)=3$，所以$f(1)= -1$.所以$f(2024)=f(675×3 - 1)=f(-1)=1$，$f(2025)=f(675×3)=f(0)=0$，$f(2026)=f(675×3 + 1)=f(1)= -1$，所以$f(2024)+f(2025)+f(2026)=1 + 0 - 1 = 0$.

1. (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是（ ）

A.$f(x)=\frac{e^{x}-x^{2}}{x^{2}+1}$
B.$f(x)=\frac{\cos x + x^{2}}{x^{2}+1}$
C.$f(x)=\frac{e^{x}-x}{x + 1}$
D.$f(x)=\frac{\sin x + 4x}{e^{|x|}}$

答案： 1.B 对于A,$f(x)=\frac{e^x - x^2}{x^2 + 1}$，函数定义域为$\mathbf{R}$，但$f(-1)=\frac{e^{-1} - 1}{2}$，$f(1)=\frac{e - 1}{2}$，则$f(-1)≠f(1)$，故A错误；对于B,$f(x)=\frac{\cos x + x^2}{x^2 + 1}$，函数定义域为$\mathbf{R}$，且$f(-x)=\frac{\cos (-x)+(-x)^2}{(-x)^2 + 1}=\frac{\cos x + x^2}{x^2 + 1}=f(x)$，则$f(x)$为偶函数，故B正确；对于C,$f(x)=\frac{e^x - x}{x + 1}$，函数定义域为$\{x|x≠ -1\}$，不关于原点对称，则$f(x)$不是偶函数，故C错误；对于D,$f(x)=\frac{\sin x + 4x}{e^{|x|}}$，函数定义域为$\mathbf{R}$，因为$f(1)=\frac{\sin 1 + 4}{e}$，$f(-1)=\frac{-\sin 1 - 4}{e}$，则$f(1)≠f(-1)$，则$f(x)$不是偶函数，故D错误. 故选B.

2. (多选)下列函数是奇函数的是（ ）

A.$f(x)=\tan x$
B.$f(x)=x^{2}+x$
C.$f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
D.$f(x)=\ln |1 + x|$

答案： 2.AC 对于A，函数的定义域为$\{x|x≠\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$，关于原点对称，$f(-x)=\tan(-x)=-\tan x = -f(x)$，故函数为奇函数，符合题意；对于B，函数的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，$f(-x)=x^2 - x≠\pm f(x)$，故函数为非奇非偶函数，不符合题意；对于C，函数的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，且$f(-x)=\frac{e^{-x} - e^x}{2}= -f(x)$，故函数为奇函数，符合题意；对于D，函数定义域为$\{x|x≠ -1\}$，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，不符合题意. 故选AC.

3. 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=x^{3}-\frac{1}{x}$；
(2)$f(x)=\frac{\lg(4 - x^{2})}{|x - 2|+|x + 4|}$；
(3)$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1 - x^{2}}$；
(4)$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2x + 1,x\gt 0,\\x^{2}+2x - 1,x\lt 0.\end{cases}$

答案：
3.解：
(1)原函数的定义域为$\{x|x≠0\}$，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个$x$都有$f(-x)=(-x)^3 - \frac{1}{-x}=-(x^3 - \frac{1}{x})=-f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数.
(2)由$\begin{cases}4 - x^2 ＞ 0, \\ |x - 2| + |x + 4|≠0\end{cases}$得$-2 ＜ x ＜ 2$，即函数$f(x)$的定义域是$\{x|-2 ＜ x ＜ 2\}$，关于原点对称.因此$f(x)=\frac{\lg(4 - x^2)}{(2 - x)+(x + 4)}=\frac{1}{6}\lg(4 - x^2)$，所以$f(-x)=f(x)$，因此函数$f(x)$是偶函数.
(3)$f(x)$的定义域为$(-1,1)$，关于原点对称.又$f(-1)=f(1)=0$，$f(-1)= -f(1)=0$，所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数.
(4)法一(定义法)：当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，$f(-x)=(-x)^2 + 2(-x) - 1 = x^2 - 2x - 1 = -f(x)$；当$x ＜ 0$时，$-x ＞ 0$，$f(-x)= -(-x)^2 + 2(-x) + 1 = -x^2 - 2x + 1 = -f(x)$，所以$f(x)$为奇函数.
法二(图象法)：如图，作出函数$f(x)$的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数$f(x)$为奇函数.

典例 1 (1)(一题多解)(2025·浙江金丽衢十二校第二次联考)若函数$f(x)=\ln(e^{x}+1)+ax$为偶函数，则实数$a$的值为（ ）

A.$-\frac{1}{2}$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案： 典例1
(1)A
(1)法一(赋值)：因为函数$f(x)=\ln(e^x + 1)+ax$为偶函数，所以$f(-1)=f(1)$，所以$\ln(e^{-1} + 1)+(-1)a=\ln(e^1 + 1)+a$，所以$2a=\ln(e^{-1} + 1)-\ln(e^1 + 1)$，解得$a = -\frac{1}{2}$. 故选A.
法二(通法)：$f(x)=\ln(e^x + 1)+ax$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=\ln(e^{-x} + 1)-ax=\ln(\frac{e^x + 1}{e^x})-ax=\ln(e^x + 1)-x - ax$，由于$f(x)=\ln(e^x + 1)+ax$为偶函数，故$f(-x)=f(x)$，即$\ln(e^x + 1)-(1 + a)x=\ln(e^x + 1)+ax\Rightarrow(1 + 2a)x = 0$，故$1 + 2a = 0$，解得$a = -\frac{1}{2}$. 故选A.
法三(利用已知函数奇偶性的结论)：由$f(x)=\ln(e^x + 1)+ax$得，$f(x)=\ln(e^x + 1)+\ln e^{ax}=\ln[(e^x + 1)e^{ax}]$，已知函数$y = e^x + e^{-x}$是偶函数，所以$(a + 1)+a = 0$，解得$a = -\frac{1}{2}$. 故选A.

(2)(2024·河南开封第二次质量检测)若函数$f(x)=\begin{cases}a^{2}x - 1,x\lt 0,\\x + a,x\gt 0\end{cases}$是奇函数，则实数$a=$（ ）

A.$0$
B.$-1$
C.$1$
D.$\pm 1$

答案： 典例1
(2)C
(2)当$x ＞ 0$时，$-x ＜ 0$，则$f(-x)=a^2(-x)-1=-x - a = -f(x)$，则$\begin{cases}-a^2 = -1, \\ -a = -1,\end{cases}$解得$a = 1$，此时$f(x)=\begin{cases}x - 1,x ＜ 0, \\ -x + 1,x ＞ 0,\end{cases}$所以$f(-x)= -x + 1 = -(x - 1)= -f(x)$，符合题意.所以$a = 1$. 故选C.

典例 2 (1)设函数$f(x)=x^{5}+2x^{3}+3x + 1$在区间$[-2025,2025]$上的最大值是$M$，最小值为$m$，则$M + m$等于（ ）

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 典例2
(1)C
(1)由题意知，函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，关于原点对称，令$g(x)=f(x)-1 = x^5 + 2x^3 + 3x$，则函数$g(x)$为奇函数，所以$g(x)$在区间$[-2025,2025]$上的最大值与最小值之和为$0$，即$(M - 1)+(m - 1)=0$，所以$M + m = 2$. 故选C.