《2026年金版新学案高三数学人教版》

1. (2024·全国甲卷)设向量 $ \boldsymbol{a} = (x + 1, x) $，$ \boldsymbol{b} = (x, 2) $，则 （ ）

A.$ x = -3 $ 是 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $ 的必要条件
B.$ x = -3 $ 是 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $ 的必要条件
C.$ x = 0 $ 是 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $ 的充分条件
D.$ x = -1 + \sqrt{3} $ 是 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $ 的充分条件

答案： 1.C 对于A,当a⊥b时,则a·b=0,所以x·(x + 1)+2x = 0,解得x = 0或−3,即必要性不成立,故A错误;对于C,当x = 0时,a = (1,0),b = (0,2),故a·b = 0,所以a⊥b,即充分性成立,故C正确;对于B,当a//b时,则2(x + 1)=x²,解得x = 1±√3,即必要性不成立,故B错误;对于D,当x = −1 + √3时,不满足2(x + 1)=x²,所以a//b不成立,即充分性不成立,故D错误.故选C.

2. (2024·湖南怀化二模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等. 设 $ A $，$ B $ 为两个同高的几何体，$ p $：$ A $，$ B $ 的体积相等，$ q $：$ A $，$ B $ 在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，$ p $ 是 $ q $ 的 （ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.B 由q⇒p,反之不成立.所以p是q的必要不充分条件.故选B.

3. (2025·江西南昌模拟)已知 $ p $：$ \ln(a - 1) ＞ 0 $，$ q $：$ \exists x ＞ 0 $，$ \frac{x^2 + 1}{x} \leq a $，则 $ p $ 是 $ q $ 的 （ ）

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A 由ln(a−1)＞0,得{a−1＞0,a−1＞1⇒a＞2,设p:A = {a|ln(a−1)＞0} = {a|a＞2},由∃x＞0,x² + 1/x ≤ a的否定为∀x＞0,x² + 1/x ＞ a,令f(x) = x² + 1/x = x + 1/x ≥ 2,当且仅当x = 1/x时,即x = 1时等号成立,若∀x＞0,x² + 1/x ＞ a,则a ＜ 2,若∃x＞0,x² + 1/x ≤ a,则a ≥ 2,设q:B = {a|a≥2},因为{a|a≥2}⊇{a|a＞2},所以p⇒q且q⇏p,所以p是q的充分不必要条件.故选A.

典例 1
(1) 命题“$ \forall x \in [1, 3], x^2 - a \leq 0 $”为真命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A.$ a \geq 9 $
B.$ a \leq 9 $
C.$ a \geq 10 $
D.$ a \leq 10 $

答案：
(1)C
(1)命题“∀x∈[1,3],x²−a≤0”⇔“∀x∈[1,3],x²≤a”⇔“a≥9”.则“a≥10”是命题“∀x∈[1,3],x²−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.

(2) (一题多变)已知 $ P = \{ x | x^2 - 8x - 20 \leq 0 \} $，非空集合 $ S = \{ x | 1 - m \leq x \leq 1 + m \} $. 若 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的必要条件，则实数 $ m $ 的取值范围为____.
[变式探究]
1. (变条件)本例(2)中条件“若 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的必要条件”变为“$ \neg P $ 是 $ \neg S $ 的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数 $ m $ 的取值范围为____.
2. (变设问)本例(2)条件不变，问是否存在实数 $ m $，使 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的充要条件？并说明理由.

答案：
(2)[0,3]
(2)由x²−8x−20≤0,得−2≤x≤10,所以P = {x|−2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,又S≠∅,所以{1−m≥−2,1 + m≤10,解得0≤m≤3,故实数m的取值范围为[0,3].
[变式探究]
1.[9,+∞) 由例题知P = {x|−2≤x≤10}.因为
∵P是∁S的必要不充分条件,所以P⇒S且S⇏P.所以[−2,10]⊆[1−m,1 + m].所以{1−m≤−2,1 + m＞10或{1−m＜−2,1 + m≥10,所以m≥9,则实数m的取值范围是[9,+∞).
2.解:不存在m,理由如下:由例题知P = {x|−2≤x≤10}.若x∈P是x∈S的充要条件,则P = S,所以{1−m = −2,1 + m = 10,所以{m = 3,m = 9,这样的m不存在.

若 $ x \in \mathbf{R} $，下列选项中，使“$ x^2 ＜ 1 $”成立的一个必要不充分条件为 （ ）

A.$ -2 ＜ x ＜ 1 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 1 $
C.$ 0 ＜ x ＜ 2 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 0 $

答案： 对点练1.A 不等式x²＜1等价于−1＜x＜1,使“x²＜1”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为A,则(−1,1)是A的真子集,由此对照各项,可知只有A项符合题意.故选A.

已知“$ (x - m)^2 ＞ 3(x - m) $”是“$ x^2 + 3x - 4 ＜ 0 $”的必要不充分条件，则实数 $ m $ 的取值范围为____.

答案： 对点练2.(−∞,−7]∪[1,+∞) 由(x−m)²＞3(x−m)得x＜m或x＞3 + m,设p:x＜m或x＞3 + m;由x² + 3x−4＜0得−4＜x＜1,设q:−4＜x＜1.因为p是q的必要不充分条件,所以m≥1或m + 3≤−4,可得m≥1或m≤−7.