《2026年金版新学案高三数学人教版》

1. 等差数列的概念
(1) 定义：如果一个数列从第 $ 2 $ 项起，每一项与它的前一项的差都等于____，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：$ a_{n + 1} - a_n = d(n \in \mathbf{N}^*, d $ 为常数$) $.
(2) 等差中项：由三个数 $ a, A, b $ 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时____叫做 $ a $ 与 $ b $ 的等差中项，根据等差数列的定义可知 $ 2A = $____.

答案： 1.
(1)同一个常数
(2)A $a+b$

2. 等差数列的通项公式与前 $ n $ 项和公式
(1) 若等差数列$ \{ a_n \} $的首项是 $ a_1 $，公差是 $ d $，则其通项公式为 $ a_n = $____；
通项公式的推广：$ a_n = a_m + (n - m)d(n, m \in \mathbf{N}^*) $.
(2) 前 $ n $ 项和公式：$ S_n = $____$ = $____.
(3) 当 $ d \neq 0 $ 时，$ a_n $ 可看作关于 $ n $ 的一次函数，$ S_n $ 可看作关于 $ n $ 的二次函数，可借助二次函数的图象和性质来研究 $ S_n $ 的最值问题.

答案： 2.
(1)$a_1+(n-1)d$
(2)$na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$ $n(a_1+a_n)$

3. 等差数列的常用性质
(1) 等差数列项的性质
① 在等差数列$ \{ a_n \} $中，当 $ m + n = p + q $ 时，$ a_m + a_n = $____$ (m, n, p, q \in \mathbf{N}^*) $. 特别地，若 $ m + n = 2p $，则 $ a_m + a_n = $____$ (m, n, p \in \mathbf{N}^*) $.
② 若$ \{ a_n \} $公差为 $ d $，则$ \{ a_{2n} \} $也是等差数列，公差为 $ 2d $；$ a_k, a_{k + m}, a_{k + 2m}, ·s $ 仍是等差数列，公差为 $ md(k, m \in \mathbf{N}^*) $.
③ 若$ \{ a_n \}, \{ b_n \} $是等差数列，则$ \{ pa_n + qb_n \} (p, q $ 为常数$) $也是等差数列；$ \{ a_n \} $ 与 $ \{ b_n \} $ 的公共项从小到大排成的新数列也是等差数列，首项是第一个相同的公共项，公差是$ \{ a_n \} $ 与 $ \{ b_n \} $ 的公差的最小公倍数.
(2) 等差数列前 $ n $ 项和的性质
① $ S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n}, ·s $ 也成____数列，公差为 $ n^2d $.
② 若$ \{ a_n \} $是等差数列，则$ \left\{ \dfrac{S_n}{n} \right\} $ 也成____数列，其首项与$ \{ a_n \} $首项相同，公差是$ \{ a_n \} $公差的$ \dfrac{1}{2} $.

答案： 3.
(1)①$a_p+a_q$ $2a_p$
(2)①等差 ②等差

1. (多选) 下列结论正确的是（ ）

A.若一个数列从第 $ 2 $ 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列
B.数列$ \{ a_n \} $为等差数列的充要条件是对任意 $ n \in \mathbf{N}^* $，都有 $ 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} $
C.在等差数列$ \{ a_n \} $中，若 $ a_m + a_n = a_p + a_q $，则 $ m + n = p + q $
D.若无穷等差数列$ \{ a_n \} $的公差 $ d ＞ 0 $，则其前 $ n $ 项和 $ S_n $ 不存在最大值

答案： 1.BD