《2026年金版新学案高三数学人教版》

4. 空间向量的坐标表示及其应用
设 $ \boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3), \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3) $.

答案： 4.$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ $a_1 = \lambda b_1,a_2 = \lambda b_2,a_3 = \lambda b_3$ $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ $\frac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$

1. (多选) 下列说法正确的是（ ）

A.空间中任意两个非零向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $ 共面
B.空间中模相等的两个向量方向相同或相反
C.若 $ A, B, C, D $ 是空间中任意四点，则有 $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \boldsymbol{0} $
D.对于向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $，若 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 $，则一定有 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} $ 或 $ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $

答案： 1.AC

2. (链接人教 A 选择性必修一 P23T5) 已知向量 $ \boldsymbol{a} = (2, -3, 1), \boldsymbol{b} = (2, 0, 3), \boldsymbol{c} = (0, 0, 2) $，则 $ \boldsymbol{a} · (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = $（ ）

A.6
B.7
C.9
D.13

答案： 2.C 因为$a = (2, - 3,1),b + c = (2,0,5)$，所以$a · (b + c) = 2 × 2 + (-3) × 0 + 1 × 5 = 9$.故选C.

3. (链接人教 A 选择性必修一 P10T5) 在平行六面体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ M $ 为 $ A_1C_1 $ 与 $ B_1D_1 $ 的交点. 若 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}, \overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c} $，则下列向量中与 $ \overrightarrow{BM} $ 相等的向量是（ ）


A.$ -\frac{1}{2} \boldsymbol{a} + \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} $
B.$ \frac{1}{2} \boldsymbol{a} + \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} $
C.$ -\frac{1}{2} \boldsymbol{a} - \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} $
D.$ \frac{1}{2} \boldsymbol{a} - \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} $

答案： 3.A $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1M} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = c + \frac{1}{2}(b - a) = - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + c$.故选A.

4. (链接人教 A 选择性必修一 P15T5) 正四面体 $ ABCD $ 的棱长为 2，$ E, F $ 分别为 $ BC, AD $ 的中点，则 $ EF $ 的长为______.

答案： 4.$\sqrt{2}$ $|\overrightarrow{EF}|^2 = \overrightarrow{EF}^2 = (\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF})^2 = \overrightarrow{EC}^2 + \overrightarrow{CD}^2 + \overrightarrow{DF}^2 + 2(\overrightarrow{EC} · \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{EC} · \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{CD} · \overrightarrow{DF}) = 1^2 + 2^2 + 1^2 + 2(1 × 2 × \cos 120^{\circ} + 0 + 2 × 1 × \cos 120^{\circ}) = 2$，所以$|\overrightarrow{EF}| = \sqrt{2}$，所以$EF$的长为$\sqrt{2}$.

1. 在空间四边形 $ ABCD $ 中，$ \overrightarrow{AB} = (-3, 5, 2), \overrightarrow{CD} = (-7, -1, -4) $，点 $ E, F $ 分别为线段 $ BC, AD $ 的中点，则 $ \overrightarrow{EF} $ 的坐标为( )

A.$ (2, 3, 3) $
B.$ (-2, -3, -3) $
C.$ (5, -2, 1) $
D.$ (-5, 2, -1) $

答案： 1.B 因为点E,F分别为线段BC,AD的中点，设O为坐标原点，所以$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}),\overrightarrow{OE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.所以$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CD}) = \frac{1}{2} × [(3, - 5, - 2) + (-7, -1, -4)] = \frac{1}{2} × (-4, -6, -6) = (-2, -3, -3)$.故选B.

2. 在三棱柱 $ A_1B_1C_1 - ABC $ 中，$ D $ 是四边形 $ BB_1C_1C $ 的中心，且 $ \overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}, \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{c} $，则 $ \overrightarrow{A_1D} $ 等于（ ）


A.$ \frac{1}{2} \boldsymbol{a} + \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \frac{1}{2} \boldsymbol{c} $
B.$ \frac{1}{2} \boldsymbol{a} - \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \frac{1}{2} \boldsymbol{c} $
C.$ \frac{1}{2} \boldsymbol{a} + \frac{1}{2} \boldsymbol{b} - \frac{1}{2} \boldsymbol{c} $
D.$ -\frac{1}{2} \boldsymbol{a} + \frac{1}{2} \boldsymbol{b} + \frac{1}{2} \boldsymbol{c} $

答案： 2.D $\overrightarrow{A_1D} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1D} = - \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BC}) = - \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$.故选D.

3. (多选) 如图所示，在四面体 $ OABC $ 中，点 $ M $ 是棱 $ BC $ 的中点，点 $ N $ 在线段 $ OM $ 上，点 $ P $ 在线段 $ AN $ 上，且 $ AP = 3PN $，$ \overrightarrow{ON} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OM} $，设 $ \overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}, \overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c} $，则下列等式成立的是（ ）


A.$ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \boldsymbol{b} - \frac{1}{2} \boldsymbol{c} $
B.$ \overrightarrow{AN} = \frac{1}{3} \boldsymbol{b} + \frac{1}{3} \boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} $
C.$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{4} \boldsymbol{b} - \frac{1}{4} \boldsymbol{c} - \frac{3}{4} \boldsymbol{a} $
D.$ \overrightarrow{OP} = \frac{1}{4} \boldsymbol{a} + \frac{1}{4} \boldsymbol{b} + \frac{1}{4} \boldsymbol{c} $

答案： 3.BD 对于A,利用向量的平行四边形法则，$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}c$，故A错误；对于B,利用向量的平行四边形法则和三角形法则，得$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OA} = \frac{2}{3}(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}b + \frac{1}{3}c - a$，故B正确；对于C,因为点P在线段AN上，且AP = 3PN.所以$\overrightarrow{AP} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AN} = \frac{3}{4} × (\frac{1}{3}b + \frac{1}{3}c - a) = \frac{1}{4}b + \frac{1}{4}c - \frac{3}{4}a$.故C错误；对于D,$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = a + \frac{1}{4}b + \frac{1}{4}c - \frac{3}{4}a = \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{1}{4}c$，故D正确.故选BD.