《2026年金版新学案高三数学人教版》

2. (链接人教 A 必修一 P8 例 1) 已知集合 $A = \{x \mid x^{2} - 4x ＜ 0, x \in \mathbf{N}^{*}\}$，则集合 $A$ 真子集的个数为（ ）

A.3
B.4
C.7
D.8

答案： 2.C A={x|x² - 4x＜0,x∈N*}={1,2,3},所以集合A真子集的个数为2³ - 1 = 7.故选C.

3. 已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，集合 $A = \{1, 2, 3\}$，$B = \{3, 4\}$，则 $(\complement_{U}A) \cap (\complement_{U}B) =$（ ）

A.$\{1, 5\}$
B.$\{5\}$
C.$\{1, 2, 5\}$
D.$\{2, 3, 4\}$

答案： 3.B (∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)={5}.故选B.

4. (链接人教 A 必修一 P14T4) 设全集为 $\mathbf{R}$，$A = \{x \mid 3 \leq x ＜ 7\}$，$B = \{x \mid 2 ＜ x ＜ 10\}$，则 $\complement_{\mathbf{R}}(A \cup B) =$ ____，$(\complement_{\mathbf{R}}A) \cap B =$ ____.

答案： 4.{x|x≤2,或x≥10} {x|2＜x＜3,或7≤x＜10}

1. (2025·江苏常州模拟) 设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{5, 6\}$，$C = \{x + y \mid x \in A, y \in B\}$，则 $C$ 中元素的个数为（ ）

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 1.C 因为集合A={1,2,3,4},B={5,6},又x∈A,y∈B,则当y=5时,x + y的值有6,7,8,9,当y=6时,x + y的值有7,8,9,10,于是得C={6,7,8,9,10},所以C中元素的个数为5.故选C.

2. (2025·江西南昌模拟) 已知 $A = \{x \mid x^{2} - ax + 1 \leq 0\}$，若 $2 \in A$，且 $3 \notin A$，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A.$\left\dfrac{5}{2}, \dfrac{10}{3}\right)$
B.$\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{10}{3}\right$
C.$\left\dfrac{5}{2}, +\infty\right)$
D.$\left(-\infty, \dfrac{10}{3}\right)$

答案： 2.A 由题意得4 - 2a + 1≤0且9 - 3a + 1＞0,解得$\frac{5}{2}$≤a＜$\frac{10}{3}$,即实数a的取值范围为$\frac{5}{2}$,$\frac{10}{3}$).故选A.

3. 已知 $a, b \in \mathbf{R}$，若 $\left\{a, \dfrac{b}{a}, 1\right\} = \{a^{2}, a + b, 0\}$，则 $a^{2025} + b^{2026}$ 的值为（ ）

A.$-1$
B.0
C.1
D.$\pm 1$

答案： 3.A 由集合相等可知0∈{a,$\frac{b}{a}$,1},且a≠0,则$\frac{b}{a}$=0,所以b=0,所以a²=1,解得a = 1或a = -1.根据集合中元素的互异性可知a = 1应舍去,因此a = -1,所以a²⁰²⁵ + b²⁰²⁶ = (-1)²⁰²⁵ + 0²⁰²⁶ = -1.故选A.

4. 若集合 $A = \{x \mid kx^{2} + x + 1 = 0\}$ 中有且只有一个元素，则实数 $k$ 的取值集合是____.

答案： 4.{0,$\frac{1}{4}$} 当k = 0时,A={ - 1},符合题意;当k≠0时,若集合A中有且只有一个元素,由一元二次方程根的判别式Δ = 1 - 4k = 0,得k = $\frac{1}{4}$.综上,当k = 0或k = $\frac{1}{4}$时,集合A={x|kx² + x + 1 = 0}中有且只有一个元素,k的取值集合是{0,$\frac{1}{4}$}.

典例 1 (1) 若集合 $A = \{x \mid y = \sqrt{x}\}$，$B = \{y \mid y = 2^{x}, x \in A\}$，则（ ）

A.$A \cap B = \varnothing$
B.$A \cup B = \mathbf{R}$
C.$B \subseteq A$
D.$A \subseteq B$

答案： 典例1
(1)C
(1)因为A={x|y = √x}=0,+∞),B={y|y = 2^x,x∈A}=1,+∞),所以B⊊A.故选C.

(2) (一题多变) (2023·新课标Ⅱ卷) 设集合 $A = \{0, -a\}$，$B = \{1, a - 2, 2a - 2\}$，若 $A \subseteq B$，则 $a =$（ ）
A.2
B.1
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$-1$
[变式探究]
(变条件) 将本例 (2) 中的集合 $A$，$B$ 分别变为 $A = \{x \mid -a ＜ x ＜ a\}$，$B = \{x \mid -1 ＜ x ＜ 3\}$，其它条件不变，则实数 $a$ 的取值范围为____.

答案：

(2)B
(2)因为A⊆B,则有:若a - 2 = 0,解得a = 2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不符合题意;若2a - 2 = 0,解得a = 1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.综上所述a = 1.故选B.
[变式探究] (-∞,1] 当a≤0时,A=∅,显然A⊆B.当a＞0时,因为B={x|-1＜x＜3},若A⊆B,在数轴上标出两集合，，如图，所以$\begin{cases}-a\geq - 1, \\ a\leq 3, \\ -a\lt a.\end{cases}$ 所以0＜a≤1.综上所述，实数a的取值范围为(-∞,1].

已知集合 $A = \{x \in \mathbf{N}^{*} \mid x^{2} - 2x - 3 ＜ 0\}$，则满足 $B \subseteq A$ 的非空集合 $B$ 的个数为（ ）

A.3
B.4
C.7
D.8

答案： 对点练1.A A={x∈N*|x² - 2x - 3＜0}={x∈N*|-1＜x＜3}={1,2},所以满足B⊆A的非空集合B有{1},{2},{1,2},共3个.故选A.

(2025·山东潍坊模拟) 已知集合 $A = \{x \mid \log_{3}(2x + 1) = 2\}$，集合 $B = \{2, a\}$，其中 $a \in \mathbf{R}$. 若 $A \cup B = B$，则 $a =$（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 对点练2.D 由log₃(2x + 1)=2,则2x + 1 = 3²,解得x = 4,所以A={x|log₃(2x + 1)=2}={4},又B={2,a},A∪B=B,即A⊆B,所以a = 4.故选D.

典例 2 (1) (2024·新课标Ⅰ卷) 已知集合 $A = \{x \mid -5 ＜ x^{3} ＜ 5\}$，$B = \{-3, -1, 0, 2, 3\}$，则 $A \cap B =$（ ）

A.$\{-1, 0\}$
B.$\{2, 3\}$
C.$\{-3, -1, 0\}$
D.$\{-1, 0, 2\}$

答案： 典例2
(1)A
(1)因为A={x|-√5＜x＜√5},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1＜√5＜2,从而A∩B={-1,0}.故选A.

(2) (2024·沈阳质量监测 (三)) 若全集 $U = \mathbf{R}$，集合 $A = \{x \mid 0 \leq x ＜ 3\}$，$B = \{x \mid 1 ＜ x ＜ 4\}$，则 $A \cap (\complement_{U}B) =$（ ）

A.$0, 1)$
B.$[0, 1]$
C.$(-\infty, 1)$
D.$(-\infty, 1$

答案：
(2)B
(2)由B={x|1＜x＜4},得∁_R B={x|x≤1,或x≥4},而A={x|0≤x＜3},所以A∩(∁_R B)=[0,1].故选B.