《2026年金版新学案高三数学人教版》

典例 1：在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为$\boldsymbol{G}$，两个拉力分别为$\boldsymbol{F}_{1}$，$\boldsymbol{F}_{2}$，且$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{F}_{2}|$，$\boldsymbol{F}_{1}$与$\boldsymbol{F}_{2}$的夹角为$\theta$，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ）


A.$|\boldsymbol{G}| = |\boldsymbol{F}_{1}| + |\boldsymbol{F}_{2}|$
B.当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，$|\boldsymbol{F}_{1}| = \frac{\sqrt{2}}{2}|\boldsymbol{G}|$
C.当$\theta$角越大时，用力越省
D.当$|\boldsymbol{F}_{1}| = |\boldsymbol{G}|$时，$\theta = \frac{\pi}{3}$
听课笔记：

答案： 典例1 B 根据题意可得$-G=F_1+F_2$，则$\vert G\vert=\vert F_1+F_2\vert=\sqrt{\vert F_1+F_2\vert^2}$
$=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1· F_2}=\sqrt{2F_1^2+2F_2^2· \cos\theta}$，当$\theta=0$时，$\vert G\vert=2\vert F_1\vert$
$=\vert F_1\vert+\vert F_2\vert$，当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$\vert G\vert=\sqrt{2F_1^2+2F_2^2· \cos\theta}=\sqrt{2}\vert F_1\vert$，即$\vert F_1\vert$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\vert G\vert$，故A错误，B正确；$\vert G\vert=\sqrt{2F_1^2+2F_2^2· \cos\theta}$，因为$y=\cos\theta$在
$(0,\pi)$上单调递减，且行李包所受的重力$G$不变，所以当$\theta$角越大时，用力
越大，故C错误；当$\vert F_1\vert=\vert G\vert$时，即$\vert G\vert=\sqrt{2F_1^2+2F_2^2· \cos\theta}=\vert F_1\vert$，解得
$\cos\theta=-\frac{1}{2}$，又因为$\theta\in0,\pi)$，所以$\theta=\frac{2\pi}{3}$，故D错误.故选B.

对点练 1：长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度$\boldsymbol{v}_{1}$的大小$|\boldsymbol{v}_{1}| = 10\ km/h$，水流的速度$\boldsymbol{v}_{2}$的大小$|\boldsymbol{v}_{2}| = 4\ km/h$，设$\boldsymbol{v}_{1}$和$\boldsymbol{v}_{2}$所成的角为$\theta(0 ＜ \theta ＜ \pi)$，若游船要从$A$航行到正北方向上位于北岸的码头$B$处，则$\cos\theta$等于（ ）


A.$-\frac{\sqrt{21}}{5}$
B.$-\frac{2}{5}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： 对点练1.B 由题意知$(v_1+v_2)· v_2=0$，有$\vert v_1\vert\vert v_2\vert\cos\theta+v_2^2=0$，即$10×$
$4\cos\theta+4^2=0$，所以$\cos\theta=-\frac{2}{5}$，故选B.

典例 2：
（1）若$O$为$\triangle ABC$所在平面内一点，且满足$|\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA}|$，则$\triangle ABC$的形状为（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形

答案： 典例2
(1)B

（2）（2025·山东东营模拟）已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且$C = 60^{\circ}$，$a = 3$，$S_{\triangle ABC} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$，则$AB$边上的中线长为（ ）
听课笔记：
A.$49$
B.$7$
C.$\frac{49}{4}$
D.$\frac{7}{2}$

答案：
(2)D

对点练 2：（教材典题再练）已知非零向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$满足$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}) · \overrightarrow{BC} = 0$，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} · \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{2}$，则$\triangle ABC$的形状是（ ）

A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形
D.等边三角形

答案： 对点练2.D 因为$\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}$和$\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}$分别表示向量$\overrightarrow{AB}$和向量$\overrightarrow{AC}$方向上的单位向
量，因为$(\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}+\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert})·\overrightarrow{BC}=0$，所以角$A$的平分线与$BC$垂直，所以
$\triangle ABC$为等腰三角形，且$AB=AC$，因为$\frac{\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}·\frac{\overrightarrow{AC}}{\vert\overrightarrow{AC}\vert}=\frac{1}{2}$，所以$\cos A=$
$\frac{1}{2}$，又$A\in(0,\pi)$，所以$A=\frac{\pi}{3}$，所以$B=C=A=\frac{\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$为等边三
角形.故选D.

对点练 3：在平面四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC} = (-2, 3)$，$\overrightarrow{BD} = (6, 4)$，则该四边形的面积为（ ）

A.$3\sqrt{13}$
B.$4\sqrt{13}$
C.$13$
D.$26$

答案： 对点练3.C 因为$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=-12+12=0$，所以$AC\perp BD$，所以四边形$ABCD$
的面积为$\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AC}\vert·\vert\overrightarrow{BD}\vert=\frac{1}{2}×\sqrt{4+9}×\sqrt{36+16}=13$.故选C.