《2026年金版新学案高三数学人教版》

1. 函数 $ y = \log_{a}x $ 与 $ y = -x + a $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

答案： 1.A 当a＞1时，函数y=logₐx的图象为选项B、D中过点(1,0)的曲线，此时函数y = -x + a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，选项B、D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y=logₐx的图象为选项A、C中过点(1,0)的曲线，此时函数y = -x + a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，只有选项A中的图象符合要求.故选A

2. 已知函数 $ f(x) = |\ln x| $，若 $ 0 ＜ a ＜ b $，且 $ f(a) = f(b) $，则 $ a + 2b $ 的取值范围是______.

答案：
2.(3,+∞) f(x)=|ln x|的图象如图，因为f(a)=f(b)，所以|ln a|=|ln b|，因为0＜a＜b，所以ln a＜0，ln b＞0，所以 -ln a = lnb，所以ln a + ln b = ln(ab)=0，所以ab = 1，则b=1/a，所以a + 2b = a + 2/a令g(x)=x + 2/x(0＜x＜1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)＞g
(1)=1 + 2 = 3，所以a + 2b的取值范围为(3,+∞).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \log_{2}x, x ＞ 0, \\ 3^{x}, x \leq 0, \end{cases} $ 关于 $ x $ 的方程 $ f(x) + x - a = 0 $ 有且只有一个实根，则实数 $ a $ 的取值范围是______.

答案：
3.(1,+∞) 问题等价于函数y = f(x)与y = -x + a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1，所以实数a的取值范围是(1,+∞).
　　　　　　　　　　　　　　　　

典例 1 (1) (一题多解) (2025·河南开封模拟) 已知 $ a = \log_{2}e $，$ b = \ln 2 $，$ c = \log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{3} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为( )

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ b ＞ a ＞ c $
C.$ c ＞ b ＞ a $
D.$ c ＞ a ＞ b $

答案：
典例1
(1)D
(1)法一(中间量法)：因为a=log₂e＞1，b=ln 2∈(0,1)，c=log₁/₃(1/3)=log₂3＞log₂e＞1，所以c＞a＞b.故选D.
　法二(图象法)：log₁/₃(1/3)=log₂3，在同一平面直角坐标系中作出函数y=log₂x，y=ln x的图象，如图，由图可知c＞a＞b.故选D.
　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) (2025·安徽阜阳模拟) 设 $ a = \log_{2}3 $，$ b = \log_{8}12 $，$ c = \lg 15 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为( )

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ c ＜ b ＜ a $
听课笔记：

答案：
(2)D
(2)a=log₂3=log₂(2×3/2)=1+log₂(3/2)=1 + 1/log₃/₂2，b=log₈12=log₈(8×3/2)=1+log₈(3/2)=1 + 1/log₃/₂8，c=lg 15 = log₁₀(10×3/2)=1+log₁₀(3/2)=1 + 1/log₃/₂10，因为0＜log₃/₂2＜log₃/₂8＜log₃/₂10，所以a＞b＞c.故选D.

典例 2 已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上的偶函数，当 $ x \leq 0 $ 时，$ f(x) $ 单调递减，则不等式 $ f\left( \log_{\frac{1}{3}}(2x - 5) \right) ＞ f(\log_{3}8) $ 的解集为______.
听课笔记：

答案： 典例2 (5/2,41/16)∪(13/2,+∞) 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0上单调递减，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，故f(log₁/₂(2x - 5))＞f(log₃8)可化为|log₁/₂(2x - 5)|＞|log₃8|，即log₁/₂(2x - 5)＞log₃8或log₁/₂(2x - 5)＜-log₃8=log₃(1/8)，即2x - 5＞8或0＜2x - 5＜1/8，解得x＞13/2或5/2＜x＜41/16，所以不等式的解集为(5/2,41/16)∪(13/2,+∞).

对点练 1. 已知 $ a = 3\log_{8}3 $，$ b = -\dfrac{1}{2}\log_{\frac{1}{3}}16 $，$ c = \log_{4}3 $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为（ ）

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ c ＞ a ＞ b $
C.$ b ＞ c ＞ a $
D.$ b ＞ a ＞ c $

答案： 对点练 1.A a = 3log₂3 = 3×log₂3/log₂3 = log₂3＞1，b = -1/2log₁/₂16 = -1/2×log₂16/log₂(1/2)=1/2×log₂4/log₂3⁻¹ = log₃4＞1，0＜c=log₄3＜1，log₂3 - log₄3 = lg3/lg2 - lg3/lg4=(lg4lg3 - lg2lg3)/(lg2lg4)=lg3(lg4 - lg2)/(lg2lg4)，lg2＞0，lg4＞0，lg2≠lg4，因为lg2lg4＜(lg2 + lg4)²/2=(lg√8)²＜(lg3)²，故log₂3 - log₄3＞0，所以a＞b，所以a＞b＞c.故选A.

对点练 2. 设函数 $ f(x) = \begin{cases} 2^{1 - x}, x \leq 1, \\ 1 - \log_{2}x, x ＞ 1, \end{cases} $ 则满足 $ f(x) \leq 2 $ 的 $ x $ 的取值范围是（ ）

A.$ [-1, 2] $
B.$ [0, 2] $
C.$ 1, +\infty) $
D.$ 0, +\infty) $

答案： 对点练 2.D 当x≤1时，由2¹⁻ˣ≤2得1 - x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1 - log₂x≤2得x≥1/2，所以x＞1.综上，x的取值范围为0,+∞).故选D.