《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

25. (8 分)如图,在$\triangle ABC$中,$CD \perp AB于点D$,$BE \perp AC于点G$,$F是CD$上一点,$AB = CF$,$BE = AC$.
(1)求证：$AE = AF$.
(2)求$\angle EAF$的度数.

答案：
(1)证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC，所以∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，所以∠ACD=∠EBA.在△AEB和△FAC中，AB=FC，∠EBA=∠ACF，BE=CA，所以△AEB≌△FAC(SAS).所以AE=AF.
(2)解:因为△AEB≌△FAC，所以∠E=∠CAF.因为∠E+∠EAG=90°，所以∠CAF+∠EAG=90°，即∠EAF=90°.

26. (9 分)图①是一个平分角的仪器,其中$OD = OE$,$FD = FE$.
(1)如图②,将仪器放置在$\triangle ABC$上,使点$O与顶点A$重合,$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,沿$AF画一条射线AP$,交$BC于点P$.$AP是\angle BAC$的平分线吗？请判断并说明理由.
(2)如图③,在(1)的条件下,过点$P作PQ \perp AB于点Q$,若$PQ = 4$,$AC = 8$,$\triangle ABC$的面积是 36,求$AB$的长.

答案： 解:
(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下:在△ADF和△AEF中,AD=AE，FD=FE，AF=AF，所以△ADF≌△AEF(SSS).所以∠DAF=∠EAF，所以AP是∠BAC的平分线.
(2)过点P作PG⊥AC于点G(图略).因为AP平分∠BAC,PQ⊥AB，所以PG=PQ=4.因为S△ABC=S△ABP+S△APC=$\frac{1}{2}$AB·PQ+$\frac{1}{2}$AC·PG，所以$\frac{1}{2}$AB×4+$\frac{1}{2}$×8×4=36.所以AB=10.

27. (10 分)在复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题：如图①,已知在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$P是\triangle ABC$内部任意一点,将$AP绕点A顺时针旋转至AQ$,使$\angle QAP = \angle BAC$,连接$BQ$,$CP$,则$BQ = CP$.
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了$\triangle ABQ \cong \triangle ACP$,从而证得$BQ = CP$之后,将点$P移到\triangle ABC$之外,原题中的条件不变,发现“$BQ = CP$”仍然成立,请你就图②给出证明.

答案： 解:因为∠QAP=∠BAC，所以∠QAP+∠BAP=∠BAC+∠BAP，即∠QAB=∠PAC.在△QAB和△PAC中，AQ=AP，∠QAB=∠PAC，AB=AC，所以△QAB≌△PAC(SAS).所以BQ=CP.