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19. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,$ AB = 8 $,$ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,以 $ BC $ 为腰作等腰直角三角形 $ BCE $,使 $ \angle CBE = 90^{\circ} $,连接 $ AE $,则 $ \triangle ABE $ 的面积为______。
答案：
16
20. (6 分)已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $。
(1)化简：$ |a + b + c| - |a + b - c| + | - a - b + c| $。
(2)若 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ |b - c| + (a - c)^2 = 0 $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状。
(1)化简：$ |a + b + c| - |a + b - c| + | - a - b + c| $。
(2)若 $ a $,$ b $,$ c $ 满足 $ |b - c| + (a - c)^2 = 0 $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状。
答案：
解:
(1)原式=a+b+c.
(2)△ABC为等边三角形.
(1)原式=a+b+c.
(2)△ABC为等边三角形.
21. (6 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是角平分线,$ BE $ 是高,$ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ O $。
(1)若 $ \angle AOE = 60^{\circ} $,求 $ \angle ABE $ 的度数；
(2)若 $ \angle BAD = 30^{\circ} $,$ \angle CBE = 50^{\circ} $,求 $ \angle ADC $ 的度数。
(1)若 $ \angle AOE = 60^{\circ} $,求 $ \angle ABE $ 的度数；
(2)若 $ \angle BAD = 30^{\circ} $,$ \angle CBE = 50^{\circ} $,求 $ \angle ADC $ 的度数。
答案：
解:
(1)∠ABE的度数为30°.
(2)∠ADC的度数为110°.
(1)∠ABE的度数为30°.
(2)∠ADC的度数为110°.
22. (6 分)如图,点 $ M $ 为 $ OA $ 上一点,$ MN // OB $。
(1)用尺规作图法作图：在 $ MN $ 上求作点 $ P $,使得 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)。
(2)求证：$ \triangle MOP $ 是等腰三角形。
(1)用尺规作图法作图：在 $ MN $ 上求作点 $ P $,使得 $ OP $ 平分 $ \angle AOB $(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)。
(2)求证：$ \triangle MOP $ 是等腰三角形。
答案：
(1)解:如图.
(2)证明:由
(1)知∠MOP=∠BOP.因为MN//OB,所以∠MPO=∠BOP,所以∠MPO=∠MOP,所以MP=MO,所以△MOP是等腰三角形.
(1)解:如图.
(2)证明:由
(1)知∠MOP=∠BOP.因为MN//OB,所以∠MPO=∠BOP,所以∠MPO=∠MOP,所以MP=MO,所以△MOP是等腰三角形.
23. (7 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC $,$ CD $ 平分 $ \angle ACB $,$ E $ 为 $ AB $ 边上一点,且 $ \angle ACE = \angle CBD $。求证：$ AE = CD $。
答案：
证明:因为∠ACB=90°,AC=BC,所以∠A=45°.因为CD平分∠ACB,所以∠BCD=45°,所以∠BCD=∠A.又因为AC=CB,∠ACE=∠CBD,所以△ACE≌△CBD(ASA),所以AE=CD.
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