《2025年人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版云南专版》

21. (6 分)将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 与含 30°角的直角三角形 DBE 的直角边 BD 长度相同,且斜边 BC 与 BE 在同一直线上,AC 与 BD 相交于点 O,连接 CD。求证：△CDO 是等腰三角形。

答案： 证明:因为在△BDC中,BC=BD，
　所以∠BDC=∠BCD.
　因为∠DBE=30°,
　所以∠BDC=∠BCD=75°.
　因为∠ACB=45°,
　所以∠DOC=∠DBE+∠ACB=30°+45°=75°.
　所以∠DOC=∠BDC,
　所以△CDO是等腰三角形.

22. (7 分)如图,在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上的一点,且 CE= CD,DM⊥BC,垂足为 M。求证：M 是 BE 的中点。

答案：
证明:如图，连接BD.
　　　　　　
　因为等边三角形ABC中，D是AC的中点，
　所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°,∠ACB=60°.
　因为CE=CD,
　所以∠E=∠CDE.
　又因为∠ACB=∠E+∠CDE,
　所以∠E=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°,
　所以∠DBC=∠E=30°,
　所以DB=DE.
　又因为DM⊥BC,
　所以M是BE的中点.

23. (7 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,E 为 CD 的中点,连接 AE,BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F。求证：
(1)CF= AD；
(2)AB= BC+AD。

答案： 证明:
(1)因为AD//BC,
　所以∠ADE=∠FCE.
　因为E是CD的中点,
　所以DE=CE.
　在△ADE与△FCE中,
　{∠ADE=∠FCE,
　DE=CE,
　∠AED=∠FEC,
　所以△ADE≌△FCE(ASA),
　所以CF=AD.
(2)因为△ADE≌△FCE,
　所以AE=EF.
　又因为BE⊥AE,
　所以BE是线段AF的垂直平分线,
　所以AB=BF=BC+CF.
　因为CF=AD,
　所以AB=BC+AD.

24. (8 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD= BC,∠A= ∠B,E 为 AB 的中点,连接 CE,DE。
(1)求证：△ADE≌△BCE。
(2)若∠A= 70°,∠BCE= 60°,求∠CDE 的度数。

答案：
(1)证明:因为E为AB的中点,
　所以AE=BE.
　又因为AD=BC,∠A=∠B,
　所以△ADE≌△BCE.
(2)解:由
(1)得△ADE≌△BCE,
　所以DE=EC,∠ADE=∠BCE=60°,∠AED=∠BEC.
　因为∠A=∠B=70°,
　所以∠AED=∠BEC=180°-60°-70°=50°,
　所以∠DEC=180°-50°-50°=80°.
　因为DE=EC,
　所以∠CDE=$\frac{1}{2}$×(180°-80°)=50°.