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18. (8 分)阅读材料：
材料 1：若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$。
材料 2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值。
解：$\because$ 一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，
$\therefore m + n = 1$，$mn = -1$，
则 $m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n) = -1×1 = -1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 $2x^{2} - 3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1} + x_{2} =$
(2)类比应用：已知一元二次方程 $2x^{2} - 3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值。
(3)思维拓展：已知实数 $s$，$t$ 分别满足 $2s^{2} - 3s - 1 = 0$，$2t^{2} - 3t - 1 = 0$，且 $s \neq t$，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值。
材料 1：若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$。
材料 2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值。
解：$\because$ 一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，
$\therefore m + n = 1$，$mn = -1$，
则 $m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n) = -1×1 = -1$。
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程 $2x^{2} - 3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，则 $x_{1} + x_{2} =$
\frac{3}{2}
，$x_{1}x_{2} =$-\frac{1}{2}
。(2)类比应用：已知一元二次方程 $2x^{2} - 3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$，$n$，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值。
(3)思维拓展：已知实数 $s$，$t$ 分别满足 $2s^{2} - 3s - 1 = 0$，$2t^{2} - 3t - 1 = 0$，且 $s \neq t$，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值。
答案：
18.解$(1)\frac{3}{2},-\frac{1}{2}.$
(2)
∵一元二次方程2x² - 3x - 1=0的两个实数
根分别为m,n,
∴$m + n=\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2},$
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=$
$\frac{n² + m²}{mn}=\frac{(m + n)² - 2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})² - 2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}.$
(3)
∵实数s,t分别满足2s² - 3s - 1=0,2t² -
3t - 1=0,
∴s与t看作是方程2x² - 3x - 1=0的两个实数根,
∴$s + t=\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2},$
∴(s - t)²=(s + t)² - 4st=
$(\frac{3}{2})² - 4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4},$
∴$s - t=±\frac{\sqrt{17}}{2},$
∴$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=-\frac{(s - t)}{st}=±\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}.$
(2)
∵一元二次方程2x² - 3x - 1=0的两个实数
根分别为m,n,
∴$m + n=\frac{3}{2},mn=-\frac{1}{2},$
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=$
$\frac{n² + m²}{mn}=\frac{(m + n)² - 2mn}{mn}=\frac{(\frac{3}{2})² - 2×(-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}.$
(3)
∵实数s,t分别满足2s² - 3s - 1=0,2t² -
3t - 1=0,
∴s与t看作是方程2x² - 3x - 1=0的两个实数根,
∴$s + t=\frac{3}{2},st=-\frac{1}{2},$
∴(s - t)²=(s + t)² - 4st=
$(\frac{3}{2})² - 4×(-\frac{1}{2})=\frac{17}{4},$
∴$s - t=±\frac{\sqrt{17}}{2},$
∴$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=-\frac{(s - t)}{st}=±\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=±\sqrt{17}.$
19. （8 分）如图，某小区矩形绿地的长、宽分别为 $35$ m，$15$ m。现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地。
（1）若扩充后的矩形绿地面积为 $800$ m²，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 $5:3$，求新的矩形绿地的面积。
（1）若扩充后的矩形绿地面积为 $800$ m²，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为 $5:3$，求新的矩形绿地的面积。
答案：
19.解
(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的
长为(35 + x)m,宽为(15 + x)m,
根据题意得,(35 + x)(15 + x)=800,
整理得,x² + 50x - 275=0,
解得$x_1=5,x_2=-55($不符合题意,舍去),
∴35 + x=35 + 5=40,15 + x=15 + 5=20,
即新的矩形绿地的长为40m,宽为20m.
(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地
的长为(35 + y)m,宽为(15 + y)m,
根据题意得,(35 + y):(15 + y)=5:3,
即3(35 + y)=5(15 + y),解得y=15,
∴(35 + y)(15 + y)=(35 + 15)×(15 + 15)=1500.
故新的矩形绿地的面积为1500m².
(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的
长为(35 + x)m,宽为(15 + x)m,
根据题意得,(35 + x)(15 + x)=800,
整理得,x² + 50x - 275=0,
解得$x_1=5,x_2=-55($不符合题意,舍去),
∴35 + x=35 + 5=40,15 + x=15 + 5=20,
即新的矩形绿地的长为40m,宽为20m.
(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地
的长为(35 + y)m,宽为(15 + y)m,
根据题意得,(35 + y):(15 + y)=5:3,
即3(35 + y)=5(15 + y),解得y=15,
∴(35 + y)(15 + y)=(35 + 15)×(15 + 15)=1500.
故新的矩形绿地的面积为1500m².
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