《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

15. (6 分)如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,2)$，$B(3,1)$，$C(2,3)$，以原点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$放大为原来的$2$倍得到$\triangle A'B'C'$.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的$\triangle A'B'C'$；(不要求写画法)
(2)$\triangle A'B'C'$的面积是6.

答案：
15.解
(1)
　　　　　　　
(2)6

16. （8 分）如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = AC$，点$P$在$\angle BAC$平分线$AD$上，过点$P$作线段$EF$分别交$BD$，$AC$于点$E$，$F$. 已知$\angle CEF = 2\angle BAD$.
（1）求证：$\triangle ABC\backsim\triangle EFC$；
（2）若$BE = DE = 3$，$F$是$AC$的中点，求$CF$的值.

答案： 16.
(1)证明
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC = 2∠BAD,
又∠CEF = 2∠BAD,
∴∠BAC = ∠CEF.
　　　　在△ABC和△EFC中,∠BAC = ∠FEC,∠BCA = ∠FCE,
　
∴△ABC∽△EFC.
(2)解
∵AB = AC,AD平分∠BAC,
∴BD = CD.
　
∵BE = DE = 3,
　
∴CD = BD = BE + ED = 6,EC = ED + CD = 9,
BC = 2BD = 12.
　
∵点F为AC的中点，
　
∴AC = 2CF.
　　　　由
(1)可知,△ABC∽△EFC,
　
∴$\frac{EC}{AC}$ = $\frac{CF}{BC}$,
∴$\frac{9}{2CF}$ = $\frac{CF}{12}$,
　
∴CF² = 54,
∴CF = 3$\sqrt{6}$(舍去负值).

17. （10 分）如图，为了测量一栋楼的高度$OE$，小明同学先在操场上$A$处放一面镜子，向后退到$B$处，恰好在镜子中看到楼的顶部$E$；再将镜子放到$C$处，然后后退到$D$处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部$E$（$O$，$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上），测得$AC = 2\ m$，$BD = 2.1\ m$，如果小明眼睛距地面高度$BF$，$DG$为$1.6\ m$，试确定楼的高度$OE$.

答案： 17.解设OE = xm,AO = am,BC = bm.
　　　　由△GDC∽△EOC得，$\frac{DG}{OE}$ = $\frac{CD}{CO}$,
　　　　即$\frac{1.6}{x}$ = $\frac{2.1 - b}{2 + a}$,整理得,3.2 + 1.6a = 2.1x - bx.
　　　　由△FBA∽△EOA得，$\frac{BF}{OE}$ = $\frac{AB}{AO}$,
　　　即$\frac{1.6}{x}$ = $\frac{2 - b}{a}$,
　　　整理得,1.6a = 2x - bx.
　　　故3.2 + 2x - bx = 2.1x - bx,解得x = 32.
　　　故楼的高度OE为32m.