《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

18. （10 分）如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AC = AD$，$AC$平分$\angle BAD$，点$P$是$AC$延长线上一点，且$PD\perp AD$.
（1）求证：$\angle BDC = \angle PDC$；
（2）若$AC$与$BD$相交于点$E$，$AB = 1$，$CE:CP = 2:3$，求$AE$的长.

答案：
18.
(1)证明
∵AB = AD,AC平分∠BAD,
∴AC⊥BD.
∴∠ACD + ∠BDC = 90°.
∵AC = AD,
∴∠ACD = ∠ADC.
∵PD⊥AD,
∴∠ADC + ∠PDC = 90°,
∴∠BDC = ∠PDC;
(2)解过点C作CM⊥PD
　于点M.
∵∠BDC = ∠PDC,
　　　　　　　　　　　　　
∴CE = CM.
∵∠CMP = ∠ADP = 90°,∠P = ∠P,
∴△CPM∽△APD,
∴$\frac{CM}{AD}$ = $\frac{PC}{PA}$.
　　　设CM = CE = x,
∵CE:CP = 2:3,
　
∴PC = $\frac{3}{2}$x.
　
∵AB = AD = AC = 1,
　
∴$\frac{x}{1}$ = $\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x + 1}$,
　　　　解得x = $\frac{1}{3}$.
∴AE = 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$.

19. （10 分）【提出问题】
（1）如图 1，在等边三角形$ABC$中，点$M$是$BC$上的任意一点（不含端点$B$，$C$），连接$AM$，以$AM$为边作等边三角形$AMN$，连接$CN$. 求证：$\angle ABC = \angle ACN$.
【类比探究】
（2）如图 2，在等边三角形$ABC$中，点$M$是$BC$延长线上的任意一点（不含端点$C$），其他条件不变，（1）中结论$\angle ABC = \angle ACN$还成立吗？请说明理由.
【拓展延伸】
（3）如图 3，在等腰三角形$ABC$中，$BA = BC$，点$M$是$BC$上的任意一点（不含端点$B$，$C$），连接$AM$，以$AM$为边作等腰三角形$AMN$，使顶角$\angle AMN = \angle ABC$，连接$CN$，试探究$\angle ABC$与$\angle ACN$的数量关系，并说明理由.

答案： 19.
(1)证明
∵△ABC与△AMN均是等边三角形，
　
∴AB = AC,AM = AN,∠BAC = ∠MAN = 60°,
∴∠BAM = ∠CAN;
　　　　在△BAM和△CAN中,$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAM = ∠CAN,\\AM = AN,\end{cases}$
　
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC = ∠ACN.
(2)解结论∠ABC = ∠ACN仍成立.理由如下:
　
∵△ABC与△AMN均是等边三角形，
　
∴AB = AC,AM = AN,∠BAC = ∠MAN = 60°,
∴∠BAM = ∠CAN;
　　　　在△BAM和△CAN中,$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAM = ∠CAN,\\AM = AN,\end{cases}$
　
∴△BAM≌△CAN(SAS),
　
∴∠ABC = ∠ACN.
(3)解∠ABC = ∠ACN.理由如下:
　
∵BA = BC,MA = MN,∠ABC = ∠AMN,
　
∴∠BAC = ∠MAN.
　
∴△BAC∽△MAN,
∴$\frac{BA}{MA}$ = $\frac{BC}{MN}$ = $\frac{AC}{AN}$,
　　　　又∠BAM = ∠BAC - ∠MAC,∠CAN = ∠MAN - ∠MAC,
∴∠BAM = ∠CAN;
　
∵$\frac{BA}{AC}$ = $\frac{MA}{AN}$,
　
∴△BAM∽△CAN,
　
∴∠ABC = ∠ACN.