《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

18. （10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM.
（1）求证：四边形ADEC是矩形；
（2）若CM=6.5，且AC=12，求四边形ADEB的面积.

答案： 18.
(1)证明：
∵AC⊥BC，
∴∠ACE = ∠ACB = 90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC = ∠ACB = 90°.
∵DE//AC，
∴∠ACE = ∠E = 90°，
∴∠DAC = ∠ACE = ∠E = 90°，
∴四边形ADEC是矩形.
(2)解：
∵AC⊥BC，点M为AB的中点，CM = 6.5，
∴AB = 2CM = 13.
在Rt△ACB中，BC = $\sqrt{AB^{2} - AC^{2}}$ = 5，
在平行四边形ABCD中，AD = BC = 5，在矩形ADEC中，AD = CE = 5，
∴四边形ADEB的面积 = S矩形ADEC + S△ACB = AC·CE + $\frac{1}{2}$AC·BC = 12×5 + $\frac{1}{2}$×12×5 = 90.

19. （10分）如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG.
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM=$\frac{1}{2}$，求MO的长.

答案：
19.
(1)证明：由题意，可得DO = OC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴DB⊥AC，
∴∠DOA = ∠DOC = 90°.
又四边形OEFG为正方形，∠GOE = 90°，
∴∠GOD + ∠DOE = ∠DOE + ∠COE = 90°，
∴∠GOD = ∠COE.在△DOG和△COE中，
$\begin{cases}DO = OC,\\\angle GOD = \angle COE,\\GO = OE,\end{cases}$
∴△DOG≌△COE(SAS).
(2)解：如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H.
∵AM = $\frac{1}{2}$，DA = 2，

∴DM = $\frac{3}{2}$.
∵∠MDB = 45°，
∴MH = DH = sin 45°·DM = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$，DO = cos 45°·DA = $\sqrt{2}$，
∴HO = DO - DH = $\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO = $\sqrt{MH^{2} + HO^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{4})^{2} + (\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.