《2025年家庭作业九年级数学上册北师大版》

16. 如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，点 $O$ 是对角线 $AC$，$BD$ 的交点，点 $E$ 是 $CD$ 的中点，连接 $BE$，过点 $C$ 作 $CF\perp BE$，垂足为 $F$，连接 $OF$，则 $OF =$$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

答案： 16.$\frac{\sqrt{10}}{5}$

17. （8 分）解方程：
（1）$x^{2}+6x = 2x + 12$；
（2）$2x^{2}-3x - 1 = 0$.

答案： 17.
(1)x₁ = -6，x₂ = 2；
(2)x₁ = $\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，x₂ = $\frac{3 - \sqrt{17}}{4}$。

18. （8 分）如图，在矩形 $ABCD$ 中，$\angle ABD$，$\angle CDB$ 的平分线 $BE$，$DF$ 分别交边 $AD$，$BC$ 于点 $E$，$F$.
（1）求证：四边形 $BEDF$ 为平行四边形；
（2）当 $\angle ABE$ 为多少度时，四边形 $BEDF$ 是菱形？请说明理由.

答案： 18.
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，BC//AD。
∴∠ABD = ∠CDB。
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠EBD = $\frac{1}{2}$∠ABD，∠FDB = $\frac{1}{2}$∠CDB。
∴∠EBD = ∠FDB。
∴BE//DF。
又BC//AD，
∴四边形BEDF是平行四边形。
(2)解：当∠ABE = 30°时，四边形BEDF是菱形。理由如下：
∵BE平分∠ABD，∠ABE = 30°，
∴∠ABD = 60°，∠DBE = 30°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，
∴∠ADB = 90° - ∠ABD = 90° - 60° = 30°。
∴∠DBE = ∠ADB，
∴DE = BE。
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形。

19. （10 分）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + k - 1 = 0$.
（1）如果方程有实数根，求 $k$ 的取值范围；
（2）如果 $x_{1}$，$x_{2}$ 是这个方程的两个根，且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3x_{1}x_{2}=24$，求 $k$ 的值.

答案： 19.解：
(1)
∵方程有实数根，
∴△ = (-6)² - 4(k - 1) ≥ 0，解得k ≤ 10。
(2)
∵x₁，x₂是这个方程的两个根，
∴x₁ + x₂ = 6，x₁x₂ = k - 1。
∵x₁² + x₂² + 3x₁x₂ = 24，
∴(x₁ + x₂)² + x₁x₂ = 24，
∴6² + k - 1 = 24，解得k = -11。
经验证，k = -11符合题意，
∴k = -11。