《2025年学习力提升八年级数学上册浙教版》

11. 如图，$BE$，$CD$ 是$△ABC$ 的中线.求证：$△ADE$ 的面积是$△ABC$ 的面积的$\frac{1}{4}$.

答案： 解：
因为$BE$，$CD$是$\triangle ABC$的中线，
所以$AD = \frac{1}{2}AB$，$AE = \frac{1}{2}AC$。
又因为$\angle A=\angle A$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ab\sin C$（$a,b$为三角形两边，$C$为$a,b$夹角），
$\triangle ADE$的面积$S_{ADE}=\frac{1}{2}AD\cdot AE\cdot\sin A$，
$\triangle ABC$的面积$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A$。
将$AD = \frac{1}{2}AB$，$AE = \frac{1}{2}AC$代入$S_{ADE}$得：
$S_{ADE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB×\frac{1}{2}AC×\sin A=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A)$。
因为$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A$，
所以$S_{ADE}=\frac{1}{4}S_{ABC}$。
即$\triangle ADE$的面积是$\triangle ABC$的面积的$\frac{1}{4}$。

12. $△ABC$ 中，$∠A = x^{\circ}$.
(1)如图 1，$PB$，$PC$ 分别平分$∠ABC$，$∠ACB$，求$∠BPC$ (用$x$ 表示).

(2)如图 2，$D$ 在$BC$ 延长线上，$PB$，$PC$ 分别平分$∠ABC$，$∠ACD$.求$∠BPC$ (用$x$表示).

(3)由(1)、(2)，你能归纳总结出什么结论？

答案： $(1)$求$\angle BPC$（用$x$表示）
解：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC + \angle ACB=180^{\circ}$，已知$\angle A = x^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB = 180 - x^{\circ}$。
因为$PB$平分$\angle ABC$，$PC$平分$\angle ACB$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
那么$\angle PBC+\angle PCB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)=\frac{1}{2}(180 - x)^{\circ}=(90-\frac{x}{2})^{\circ}$。
在$\triangle PBC$中，根据三角形内角和定理$\angle BPC + \angle PBC+\angle PCB = 180^{\circ}$，所以$\angle BPC=180^{\circ}-(90 - \frac{x}{2})^{\circ}=(90+\frac{x}{2})^{\circ}$。
$(2)$求$\angle BPC$（用$x$表示）
解：
因为$\angle ACD$是$\triangle ABC$的外角，所以$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$。
又因为$PB$平分$\angle ABC$，$PC$平分$\angle ACD$，设$\angle ABC = 2\alpha$，则$\angle PBC=\alpha$，$\angle ACD = 2\angle PCD$。
由$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$，可得$2\angle PCD=x^{\circ}+2\alpha$，即$\angle PCD=\frac{x^{\circ}}{2}+\alpha$。
因为$\angle PCD$是$\triangle PBC$的外角，所以$\angle PCD=\angle BPC+\angle PBC$。
将$\angle PBC=\alpha$，$\angle PCD=\frac{x^{\circ}}{2}+\alpha$代入可得：$\frac{x^{\circ}}{2}+\alpha=\angle BPC+\alpha$，所以$\angle BPC=\frac{x^{\circ}}{2}$。
$(3)$归纳总结结论
三角形内角平分线的夹角$\boldsymbol{=90^{\circ}+\frac{1}{2}×}$顶角的度数；三角形一个内角平分线与一个外角平分线的夹角$\boldsymbol{=\frac{1}{2}×}$顶角的度数 。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{(90+\frac{x}{2})^{\circ}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{x^{\circ}}{2}}$；$(3)$三角形内角平分线的夹角$\boldsymbol{=90^{\circ}+\frac{1}{2}×}$顶角的度数；三角形一个内角平分线与一个外角平分线的夹角$\boldsymbol{=\frac{1}{2}×}$顶角的度数 。