《2025年学习力提升八年级数学上册浙教版》

12. 【概念学习】已知$\triangle ABC$，点$P$为其内部一点，连接$PA$，$PB$，$PC$，在$\triangle PAB$，$\triangle PBC$，$\triangle PAC$中，如果存在一个三角形，其内角与$\triangle ABC$的三个内角分别相等，那么就称点$P$为$\triangle ABC$的等角点.
【理解应用】(1)判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”.
①内角分别为$30^{\circ}$，$60^{\circ}$，$90^{\circ}$的三角形存在等角点：真命题；
②任意的三角形都存在等角点：假命题.
(2)如图①，点$P$是锐角$\triangle ABC$的等角点，若$∠BAC = ∠PBC$，探究图①中，$∠BPC$，$∠ABC$，$∠ACP$之间的数量关系，并说明理由.
【解决问题】如图②，在$\triangle ABC$中，$∠BAC ＜ ∠ABC ＜ ∠ACB$，若$\triangle ABC$的三个内角的角平分线的交点$P$是该三角形的等角点，求$\triangle ABC$三个内角的度数.

答案： 【理解应用】
(1)①真命题;②假命题
(2)∠BPC = ∠ABC + ∠ACP，理由如下：
如图①，
∵在△ABC中，∠BPC = ∠ABP + ∠BAC + ∠ACP，∠BAC = ∠PBC，
∴∠BPC = ∠ABP + ∠PBC + ∠ACP = ∠ABC + ∠ACP；
【解决问题】
如图②，连接PB, PC，
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC = 1/2 ∠ABC, ∠PCB = 1/2 ∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC = ∠BAC，
∠BCP = ∠ABC = 2 ∠PBC = 2 ∠BAC, ∠ACB = ∠BPC = 4 ∠BAC，
又
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴∠BAC + 2 ∠BAC + 4 ∠BAC = 180°，
∴∠BAC = 180°/7．
∴该三角形三个内角的度数分别为180°/7, 360°/7, 720°/7．