《2025年学习力提升八年级数学上册浙教版》

13. 已知命题：“$P$ 是等边 $\triangle ABC$ 内的一点，若 $P$ 到三边的距离相等，则 $PA = PB = PC$. ”
（1）写出它的逆命题. 判断其逆命题是否成立. 若成立，请给出证明.
（2）进一步证明：点 $P$ 到等边 $\triangle ABC$ 各边的距离之和为定值.

答案：
解:
(1)逆命题:P是等边三角形ABC内的一点，若PA=PB=PC，则P到三边的距离相等.该逆命题成立.
证明如下:
∵PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
∴CP是AB的垂直平分线，
∴CP平分∠ACB，
同理，BP平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∴P是△ABC三个角的角平分线的交点，
∴PD=PE=PF.

(2)
∵AB=BC=AC
且S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△APC，
∴由面积法可得P点到各边的距离之和=任意边上的高线长，即为定值.

14. 如图，四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $CD$ 上，连结 $AE$，$BE$. 给出下列五个关系式：

①$AD// BC$；②$DE = CE$；
③$\angle 1 = \angle 2$；④$\angle 3 = \angle 4$；⑤$AD + BC = AB$.
将其中的三个关系式作为条件，另外两个作为结论，构成一个命题.
（1）用序号写出一个真命题（书写形式如：如果 $×××$，那么 $××$），并给出证明；
（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；
（3）在本题可以书写的所有命题中，只有一个是假命题，请你画图举例说明.

答案： （1）如果①③④，那么②⑤.
证明：延长AE交BC延长线于点F.
∵AD//BC，
∴∠1=∠F.
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠F，
∴AB=BF.
∵∠3=∠4，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE=EF.
∵∠AED=∠FEC，∠1=∠F，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD=CF，DE=CE（即②成立）.
∵BF=BC+CF=BC+AD，AB=BF，
∴AD+BC=AB（即⑤成立）.
（2）如果①②③，那么④⑤；
如果①②④，那么③⑤；
如果②③④，那么①⑤.
（3）假命题：如果①③⑤，那么②④.
反例图：
在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠D=∠C=90°，AD=1，BC=1，AB=2，CD=2.
取E为CD上一点，DE=0.5，CE=1.5（非中点）.
∵AD=1，BC=1，
∴AD+BC=AB=2（满足⑤）；
AE平分∠DAB（∠1=∠2，满足③）；AD//BC（满足①）.
但DE≠CE（不满足②），BE不平分∠ABC（不满足④）.
（画图：坐标系中D(0,0)，C(2,0)，E(0.5,0)，A(0,1)，B(2,1)，连接AE、BE）