《2025年学习力提升八年级数学上册浙教版》

9. 如图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp BC$于点$D$，交$AC$于点$F$。
(1)若$\angle AFD = 155^{\circ}$，求$\angle EDF$的度数。
(2)若$F$是$AC$的中点，求证：$\angle CFD = \frac{1}{2}\angle ABC$。

答案： 9.
(1)解:
∵∠AFD=155°,
∴∠DFC=25°.
∵DF⊥BC,DE⊥AB,
∴∠FDC=∠AED=90°.
∴∠C=180°−90°−25°=65°.
∵AB=BC,
∴∠A=∠C=65°.
∴∠B=50°,∠BDE=40°.
∴∠EDF=90°−40°=50°.
(2)证明:连结BF.
∵AB=BC,且F是AC的中点，
∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}$∠ABC.
∴∠CFD+∠BFD=90°.
∵∠CBF+∠BFD=90°,
∴∠CFD=∠CBF.
∴∠CFD=$\frac{1}{2}$∠ABC.

10. 如图所示，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上的点，且$CD = AB$，$\angle ADB = \angle BAD$，$AE$是$\triangle ABD$的中线。求证：$AC = 2AE$。

答案：
10.证明:如答图所示，延长AE到点F,使EF=AE,连结DF.

∵AE是△ABD的中线,
∴BE=DE.
在△ABE和△FDE中,
$\begin{cases}BE=DE,\\∠AEB=∠FED,\\AE=FE,\end{cases}$
∴△ABE≌△FDE(SAS).
∴AB=FD,∠BAE=∠DFE.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD=∠ADB.
∵∠ADB=∠BAD=∠BAE+∠DAE,∠BAE=∠DFE,
∴∠DFE+∠DAE=∠DAC+∠ACD.
∴∠ADF=∠ADC.
∵AB=DC,
∴DF=DC.
在△ADF和△ADC中，$\begin{cases}AD=AD,\\∠ADF=∠ADC,\\DF=DC,\end{cases}$
∴△ADF≌△ADC(SAS).
∴AF=AC.
∵AF=AE+EF,AE=EF,
∴AC=2AE.

11. (1)如图1，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，以$AB$为边作等边三角形$ABD$。求证：$BC = \frac{1}{2}AB$。

(2)如图2，$BA$平分$\angle CBD$，$BD = 2BC$，$AB = AD$。求证：$\angle C = 90^{\circ}$。

答案： 11.证明:
(1)过点B作BE⊥AD于点E,
∵△ABD是等边三角形，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB,∠BAD=60°.
∵∠C=90°,∠BAC=30°,
∴∠CBA=60°=∠BAE,∠C=∠AEB=90°.
∵AB=BA,
∴△ABC≌△BAE,
∴BC=AE,
∴BC=$\frac{1}{2}$AB.
(2)取BD的中点F,连结AF,则BD=2BF,
又
∵BD=2BC,
∴BC=BF.
∵BA平分∠CBD,
∴∠ABC=∠ABF.
又
∵AB=AB,
∴△ABC≌△ABF.
∵∠C=∠AFB,
∴AB=AD,F是BD的中点，
∴AF⊥BD即∠AFB=90°,
∴∠C=90°.