《2025年新课标学习方法指导丛书九年级数学上册浙教版》

13. 如图,已知等腰直角三角形 $ ABC $ 的直角边长与正方形 $ MNPQ $ 的边长均为 20 cm,$ AC $ 与 $ MN $ 在同一条直线上,开始时点 $ A $ 与点 $ N $ 重合,$ \triangle ABC $ 以 2 cm/s 的速度向左运动,最终点 $ A $ 与点 $ M $ 重合.
(1)求重叠部分的面积 $ y(cm^{2}) $ 关于时间 $ t(s) $ 的函数表达式和自变量的取值范围.
(2)当 $ t= 1 $,$ t= 2 $ 时,分别求重叠部分的面积.

答案：
(1)
重叠部分是等腰直角三角形，
其直角边长为 $20 - 2t$ cm（因为$\triangle ABC$以$2 cm/s$的速度向左运动）。
所以，重叠部分的面积 $y$ 可以表示为：
$y = \frac{1}{2} × (20 - 2t) × (20 - 2t) = \frac{1}{2} ×(400 - 80t + 4t^2) = 2t^2 - 40t + 200$，
由于开始时点 $A$ 与点 $N$ 重合，最终点 $A$ 与点 $M$ 重合，
所以自变量 $t$ 的取值范围是 $0 \leq t \leq 10$。
所以重叠部分的面积 $y(cm^2)$ 关于时间 $t(s)$ 的函数表达式为$y = 2t^2 - 40t + 200(0 \leq t \leq 10)$。
(2)
当 $t = 1$ 时，代入上述公式得：
$y = 2× 1^2 - 40× 1+ 200 = 2 - 40 + 200 = 162(cm^2)$，
当 $t = 2$ 时，代入上述公式得：
$y = 2× 2^2 - 40× 2+ 200 = 8 - 80 + 200 = 128(cm^2)$，
所以当 $t = 1$ 时，重叠部分的面积为 $162 cm^2$；当 $t = 2$ 时，重叠部分的面积为 $128 cm^2$。

14. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ ∠BAD= ∠ACB= 90^{\circ} $,$ AB= AD $,$ AC= 4BC $,设 $ BC $ 的长为 $ x $,四边形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.

答案： $\because \angle BAD = \angle ACB = 90^\circ$，$AB = AD$，$AC = 4BC$，$BC = x$，
$\therefore $设$BC = x$，$AC = 4x$，
$\because \angle BAD = 90^\circ$，$AB = AD$，
$\therefore \angle BAC = \angle DAC = 45^\circ$，
$\therefore $在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle BAC = 45^\circ$，$BC = x$，$AC = 4x$，
$\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(4x)^2 + x^2} = \sqrt{17}x$，
$\therefore AD = \sqrt{17}x$，
$\therefore $在$\triangle ACD$中，$\angle DAC = 45^\circ$，$\angle DCA = \angle ACB = 90^\circ$，
$\therefore \angle ADC = 45^\circ$，
$\therefore AC = CD = 4x$，
$\therefore S_{四边形 ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$
$= \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot 4x \cdot 4x$
$= 10x^2$
即$y$关于$x$的函数表达式是$y = 10x^2$。