《2025年新课标学习方法指导丛书九年级数学上册浙教版》

【例2】(1)已知一个二次函数的图象过$(-1,10)$,$(1,4)$,$(2,7)$三点,求这个二次函数的表达式.
(2)已知抛物线的顶点为$(-1,-3)$,与y轴的交点为$(0,-5)$,求抛物线的函数表达式.
(3)已知抛物线与x轴交于点$A(-1,0)$,$B(1,0)$,并经过点$M(0,1)$,求抛物线的函数表达式.

答案： 解：
(1)设所求的二次函数的表达式为$y= ax^{2}+bx+c$,
由条件得$\begin{cases}a - b + c = 10, \\a + b + c = 4, \\4a + 2b + c = 7,\end{cases} 解得\begin{cases}a = 2, \\b = - 3, \\c = 5.\end{cases} $
因此,所求的二次函数的表达式为$y= 2x^{2}-3x + 5$.
(2)设所求的抛物线的函数表达式为$y= a(x + 1)^{2}-3$,
由条件得点$(0,-5)$在抛物线上,
则得$a - 3= -5$,解得$a= -2$.
故所求的抛物线的函数表达式为$y= -2(x + 1)^{2}-3$,即$y= -2x^{2}-4x - 5$.
(3)设所求的抛物线的函数表达式为$y= a(x + 1)(x - 1)$,
由条件得点$M(0,1)$在抛物线上,
则得$a(0 + 1)(0 - 1)= 1$,
解得$a= -1$.
故所求的抛物线的函数表达式为$y= -(x + 1)(x - 1)$,即$y= -x^{2}+1$.
【评析】二次函数的表达式有三种形式,根据不同条件适当选取,可简化计算. 一般地,若已知图象上任意三点,用一般式；若已知顶点坐标或对称轴或最值,用顶点式；若已知图象与x轴的交点,用交点式.