《2025年新课标学习方法指导丛书九年级数学上册浙教版》

13. 如图,已知二次函数$y= x^{2}+ax+3的图象经过点P(-2,3)$.

(1)求a的值和图象的顶点坐标.
(2)点$Q(m,n)$在该二次函数图象上.
①当$m= 2$时,求n的值.
②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.

答案：
(1) 把$P(-2,3)$代入$y = x^{2}+ax + 3$得：
$3=(-2)^{2}-2a + 3$，
$3 = 4-2a + 3$，
$2a=4$，
解得$a = 2$。
所以$y=x^{2}+2x + 3=(x + 1)^{2}+2$，
顶点坐标为$(-1,2)$。
(2) ①当$m = 2$时，$n=2^{2}+2×2 + 3=4 + 4+3 = 11$。
②因为$y=(x + 1)^{2}+2$，点$Q$到$y$轴的距离小于$2$，即$\vert m\vert\lt2$，$-2\lt m\lt2$。
当$x=-1$时，$y$有最小值$2$；
当$x=-2$时，$y=(-2 + 1)^{2}+2=3$；
当$x = 2$时，$y=(2 + 1)^{2}+2=11$。
所以$2\leqslant n\lt11$。

14. 已知点$(-m,0)和(3m,0)在二次函数y= ax^{2}+bx+3(a,b$是常数,$a≠0)$的图象上.
(1)当$m= -1$时,求a和b的值.
(2)若二次函数的图象经过点$A(n,3)$且点A不在坐标轴上,当$-2＜m＜-1$时,求n的取值范围.
(3)求证:$b^{2}+4a= 0$.

答案：
(1) 当$m = -1$时，交点坐标为$(1,0)$和$(-3,0)$。设$y = a(x - 1)(x + 3)$，展开得$y = ax^2 + 2ax - 3a$。因为$y = ax^2 + bx + 3$，所以$-3a = 3$，解得$a = -1$，则$b = 2a = -2$。$\therefore a = -1$，$b = -2$。
(2) 将$A(n,3)$代入$y = ax^2 + bx + 3$，得$an^2 + bn = 0$。$\because A$不在坐标轴上，$\therefore n \neq 0$，则$an + b = 0$，$n = -\frac{b}{a}$。由韦达定理，$x_1 + x_2 = -m + 3m = 2m = -\frac{b}{a}$，$\therefore n = 2m$。$\because -2 ＜ m ＜ -1$，$\therefore -4 ＜ n ＜ -2$。
(3) 由韦达定理，$x_1x_2 = -3m^2 = \frac{3}{a}$，得$a = -\frac{1}{m^2}$。$x_1 + x_2 = 2m = -\frac{b}{a}$，得$b = -a \cdot 2m = \frac{2}{m}$。$\therefore b^2 + 4a = \left(\frac{2}{m}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{m^2}\right) = \frac{4}{m^2} - \frac{4}{m^2} = 0$。得证。