《2025年新课标学习方法指导丛书九年级数学上册浙教版》

6. 如图,⊙O 内两弦 AB,CD 交于点 P,OP 平分∠APC,有下列结论：①AB= CD.②$\widehat{BC}= \widehat{AD}$.③PB= PO.④AP= PB.其中正确的有(B)

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： B

7. 如图,AB,CD 为⊙O 的两条弦,AB= CD,OE⊥AB 于点 E,且 OE= 2 cm,那么点 O 到 CD 的距离为2cm.

答案： 2

8. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,且 AB= CD,M 是$\widehat{AC}$的中点,若 MB 的长度为5,则 MD 的长度为5.

答案： 5

9. 如图,MN 为半圆 O 的直径,半径 OA⊥MN,D 为 OA 的中点,过点 D 作 BC//MN,则∠MNB 的度数为15°.

答案： 15°

10. 如图,AB,CD 是⊙O 的两条直径,AP 是⊙O 的弦,且 AP//CD,求证：$\widehat{BD}= \widehat{PD}$.

答案： 证明：
连接$BP$，
因为$AB$，$CD$是$\odot O$的两条直径，
所以$OB = OC$，$\angle APB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
因为$AP// CD$，
所以$\angle AOC = \angle BAP$（两直线平行，内错角相等），
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
$\angle BOP = 2\angle BAP$，
所以$\angle BOP = 2\angle AOC$，
又因为$\angle BOD = \angle AOC$（对顶角相等），
所以$\angle BOP = 2\angle BOD$，
又因为$\angle BOP = \angle BOD + \angle DOP$，
所以$\angle BOD = \angle DOP$，
根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所以$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{PD}$。

11. 如图,A,B 分别为$\widehat{CD}和\widehat{EF}$的中点,AB 分别交 CD,EF 于点 M,N,且 AM= BN.求证：CD= EF.

答案： 连接OA、OB，OA交CD于G，OB交EF于H。
∵A是$\widehat{CD}$中点，
∴OA⊥CD（垂径定理推论），同理OB⊥EF，故∠OGM=∠OHN=90°。
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰三角形，∠OAM=∠OBN。
在△OAM和△OBN中，$\left\{\begin{array}{l}OA=OB\\∠OAM=∠OBN\\AM=BN\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠AOM=∠BON。
在Rt△OGM和Rt△OHN中，$\left\{\begin{array}{l}∠OGM=∠OHN=90°\\∠OMG=∠ONH\\OM=ON\end{array}\right.$，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴OG=OH。
∵在同圆中，弦心距相等则弦相等，
∴CD=EF。
结论：CD=EF