《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

2. 一元二次方程$x^{2}-4x + 4 = 0$的根的情况是(B)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根
D.无实数根

答案： B

3. 下列关于$x$的一元二次方程中,有实数根的方程是①②④。
①$x^{2}-1 = 0$；②$x^{2}+1= -2x$；③$x^{2}+2x + 3 = 0$；④$x^{2}+2x = 3$.

答案： ①②④

【例 1】用公式法解下列方程：
(1) $4x^{2}+4x-1= -10-8x$；
(2) $6x^{2}+6 = 4\sqrt{6}x$.
解：

答案：
(1)将方程变形,得$4x^{2}+12x+9=0$.因为$a=4$,$b=12$,$c=9$,所以$\Delta =b^{2}-4ac=12^{2}-4×4×9=0$.所以$x=\frac{-12\pm0}{2×4}=-\frac{3}{2}$.所以原方程的根是$x_{1}=x_{2}=-\frac{3}{2}$；
(2)原方程变形为$6x^{2}-4\sqrt{6}x+6=0$,即$3x^{2}-2\sqrt{6}x+3=0$.因为$a=3$,$b=-2\sqrt{6}$,$c=3$,所以$\Delta =(-2\sqrt{6})^{2}-4×3×3=-12＜0$.所以此方程无实数根.

1. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}-2x-1 = 0$；(2) $x^{2}+2\sqrt{3}x= -3$.

答案：
(1)$x_{1}=1+\sqrt{2}$,$x_{2}=1-\sqrt{2}$；
(2)$x_{1}=x_{2}=-\sqrt{3}$

【例 2】关于$x的一元二次方程k^{2}x^{2}+(2k - 3)x + 1 = 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是$k\leqslant\frac{3}{4}$,且$k\neq0$。
【一题多变】
1. (改变条件)若把方程“有两个实数根”改为“有两个不相等的实数根”,则$k$的取值范围是$k＜\frac{3}{4}$,且$k\neq0$。
2. (改变条件)关于$x的方程k^{2}x^{2}+(2k - 3)x + 1 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是$k\leqslant\frac{3}{4}$。

答案： $k\leqslant\frac{3}{4}$,且$k\neq0$；1.$k＜\frac{3}{4}$,且$k\neq0$；2.$k\leqslant\frac{3}{4}$

2. (山东淄博中考)若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x-1 = 0$有两个不相等的实数根,则实数$k$的取值范围是(B)
A.$k＞-1$
B.$k＞-1$,且$k\neq0$
C.$k＜-1$
D.$k＜-1或k = 0$

答案： B

【例 3】(甘肃白银中考)已知关于$x的方程x^{2}+mx + m - 2 = 0$.
(1) 若此方程的一个根为$1$,求$m$的值；
(2) 求证：不论$m$取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
解：

答案：
(1)$m=\frac{1}{2}$；
(2)证明:$\Delta=m^{2}-4(m-2)=(m-2)^{2}+4$.因为$(m-2)^{2}\geqslant0$,所以$(m-2)^{2}+4＞0$,即$\Delta＞0$,所以不论$m$取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.

3. (山东潍坊中考)关于$x的一元二次方程x^{2}+(k - 3)x + 1 - k = 0$根的情况,下列说法正确的是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： A

1. (上海中考)下列方程中,没有实数根的是(D)
A.$x^{2}-2x = 0$
B.$x^{2}-2x-1 = 0$
C.$x^{2}-2x + 1 = 0$
D.$x^{2}-2x + 2 = 0$

答案： D

2. (山东潍坊中考)已知关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x + 1 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是$k\leqslant1$,且$k\neq0$。

答案： $k\leqslant1$,且$k\neq0$