《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

学习任务一 切线的判定定理
如图 24.2.2 - 10①,点 $ A $ 是 $ \odot O $ 上任意一点。

经过半径 $ OA $ 的外端点 $ A $ 作直线 $ l \perp OA $(如图 24.2.2 - 10②),则圆心 $ O $ 到直线 $ l $ 的距离是多少？直线 $ l $ 和 $ \odot O $ 有什么位置关系？为什么？
归纳

答案： 圆心O到直线l的距离是OA的长，直线l与⊙O相切，因为圆心O到直线l的距离等于半径OA.

圆的切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

答案： 外端 垂直于

学习任务二 切线的性质定理
如图 24.2.2 - 11,直线 $ l $ 是 $ \odot O $ 的切线,切点为 $ A $,则 $ l $ 与 $ OA $ 的位置关系是l⊥OA。
理由：假设 $ l $ 与 $ OA $ 不垂直,如图 24.2.2 - 12,过点 $ O $ 作 $ OB \perp l $ 于点 $ B $,则在 $ Rt \triangle OAB $ 中,$ OB $ 与 $ OA $ 的大小关系是 $ OB $ ＜ $ OA $,即圆心 $ O $ 到直线 $ l $ 的距离 $ OB $ 小于半径(填“大于”“小于”或“等于”),则 $ l $ 与 $ \odot O $ 的位置关系是相交,与 $ l $ 是 $ \odot O $ 的切线矛盾,所以假设不成立,所以 $ l $ ⊥ $ OA $。
图 24.2.2 - 11
图 24.2.2 - 12

归纳

答案： l⊥OA 不垂直 ＜ 小于 相交 ⊥

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

答案： 垂直于

1. 如图 24.2.2 - 13,$ \triangle ABC $ 的一边 $ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,请你添加一个条件,使 $ BC $ 是 $ \odot O $ 的切线,你所添加的条件为AB⊥BC(答案不唯一)。

答案： AB⊥BC(答案不唯一)

2. 如图 24.2.2 - 14,直线 $ l $ 与 $ \odot O $ 相切于点 $ B $,点 $ A $ 在直线 $ l $ 上,$ OA = 10 $,$ \angle OAB = 30^{\circ} $,则 $ \odot O $ 的半径为5。

答案： 5

【例 1】(湖北黄冈中考节选)已知：如图 24.2.2 - 15,$ MN $ 为 $ \odot O $ 的直径,$ ME $ 是 $ \odot O $ 的弦,$ MD $ 垂直于过点 $ E $ 的直线 $ DE $,垂足为点 $ D $,且 $ ME $ 平分 $ \angle DMN $。

求证：$ DE $ 是 $ \odot O $ 的切线。
思考 1：因为 $ DE $ 与 $ \odot O $ 有公共点 $ E $,所以要证明 $ DE $ 是 $ \odot O $ 的切线,只需证明OE⊥DE。
思考 2：因为已知 $ MD \perp DE $,所以可把证明直线与 $ \odot O $ 相切转化为证明 $ MD // $OE。

证明：
因为OM=OE，所以∠OME=∠OEM.
因为ME平分∠DMN，所以∠OME=∠DME，
所以∠OEM=∠DME，所以MD//OE.
因为MD⊥DE，所以OE⊥DE.
又因为OE为⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线.
(一题多解)请尝试用其他方法证明。
证明:如答图24.2.2-2，连接NE.
因为MN是⊙O的直径，
所以∠MEN=∠1+∠2=90°.
因为OM=OE，
所以∠1=∠4，
所以∠4+∠2=90°.
因为MD⊥DE，所以∠5+∠3=90°.
因为ME平分∠DMN，所以∠4=∠5，
所以∠2=∠3，所以∠1+∠3=90°，
即OE⊥DE.因为OE是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线.

答案： 思考1:OE⊥DE
思考2:OE
证明:因为OM=OE，所以∠OME=∠OEM.
因为ME平分∠DMN，所以∠OME=∠DME，
所以∠OEM=∠DME，所以MD//OE.
因为MD⊥DE，所以OE⊥DE.
又因为OE为⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线.
[一题多解]
证明:如答图24.2.2-2，连接NE.
因为MN是⊙O的直径，
所以∠MEN=∠1+∠2=90°.
因为OM=OE，
所以∠1=∠4，
所以∠4+∠2=90°.
因为MD⊥DE，所以∠5+∠3=90°.
因为ME平分∠DMN，所以∠4=∠5，
所以∠2=∠3，所以∠1+∠3=90°，
即OE⊥DE.因为OE是⊙O的半径，所以DE是⊙O的切线.