《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

1. 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法。

答案： 完全平方

2. 配方时,方程两边同时加的数等于一次项系数一半的平方。

答案： 平方

1. 方程 $ x^{2}= 16 $ 的解是(A)
A.$ x = \pm4 $
B.$ x = 4 $
C.$ x = - 4 $
D.$ x = 16 $

答案： A

2. 方程 $ (x + 1)^{2}= 2 $ 的解是x₁=-1 + √2，x₂=-1 - √2。

答案： x₁=-1 + √2，x₂=-1 - √2

3. 用配方法解方程 $ x^{2}+6x = - 1 $ 时,方程两边应同时加9,才能得 $ (x + 3)^{2}= 8 $。

答案： 9

【例 1】用直接开平方法解下列方程：
(1)$ 4(x - 2)^{2}-25 = 0 $；
(2)$ \frac{1}{2}(2y + 2)^{2}= 3 $；
(3)$ 4x^{2}+4x + 1 = 5 $。
解：

答案： 解:
(1)移项，得4(x-2)²=25.两边同除以4，得(x-2)²=25/4.由平方根的意义，得x-2=±5/2，所以x₁=9/2,x₂=-1/2.
(2)两边同乘2，得(2y+2)²=6.由平方根的意义，得2y+2=±√6，即2y+2=√6或2y+2=-√6.所以y₁=(-2+√6)/2,y₂=(-2-√6)/2.
(3)原方程可化为(2x+1)²=5.由平方根的意义，得2x+1=±√5，即2x+1=√5或2x+1=-√5.所以x₁=(√5-1)/2,x₂=(-√5-1)/2.

1. 解下列方程：
(1)$ 9x^{2}-25 = 0 $；
(2)$ 9(x + 1)^{2}= 25 $。

答案：
(1)x₁=5/3，x₂=-5/3；
(2)x₁=2/3，x₂=-8/3

【例 2】用配方法解一元二次方程：$ 2x^{2}-5x + 3 = 0 $。
解：

答案： 解:移项，得2x²-5x=-3，二次项系数化为1，得x²-5/2x=-3/2.配方，得x²-5/2x+(-5/4)²=-3/2+(-5/4)²，即(x-5/4)²=1/16.由此可得x-5/4=±1/4，所以x₁=1,x₂=3/2.

2. (浙江嘉兴中考)用配方法解方程 $ x^{2}+2x - 1 = 0 $ 时,配方结果正确的是(B)
A.$ (x + 2)^{2}= 2 $
B.$ (x + 1)^{2}= 2 $
C.$ (x + 2)^{2}= 3 $
D.$ (x + 1)^{2}= 3 $

答案： B

【例 3】用配方法求 $ 2x^{2}-8x + 1 $ 的最小值。
解：

答案： 解:2x²-8x+1=2(x²-4x)+1=2(x²-4x+4-4)+1=2(x-2)²-8+1=2(x-2)²-7.因为(x-2)²≥0，所以2(x-2)²的最小值是0.所以2(x-2)²-7，即2x²-8x+1的最小值是-7.

3. 当 $ x = $-1时,代数式 $ 8 - 2x^{2}-4x $ 有最大值,其最值为10。

答案： -1；大；10

1. 用配方法解方程 $ x^{2}+x = 2 $ 时,应在方程的两边同时(A)
A.加 $ \frac{1}{4} $
B.加 $ \frac{1}{2} $
C.减 $ \frac{1}{4} $
D.减 $ \frac{1}{2} $

答案： A

2. (山东泰安中考)一元二次方程 $ x^{2}-6x - 6 = 0 $ 配方后化为(A)
A.$ (x - 3)^{2}= 15 $
B.$ (x - 3)^{2}= 3 $
C.$ (x + 3)^{2}= 15 $
D.$ (x + 3)^{2}= 3 $

答案： A

3. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^{2}-1 = a^{2} $ 的解的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.由 $ a $ 的取值决定

答案： A