《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

学习任务 一元二次方程的根与系数的关系
1. 完成下面表格.

2. 上述表格中的三个方程的二次项系数的共同特点是什么？$x_1 + x_2和x_1x_2$与方程的系数之间有什么关系？
3. 完成下面的推导过程.
方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$,当$b^2 - 4ac \geq 0$时,方程的两根是$x_1 = $$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2 = $$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,则$x_1 + x_2 = $$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$=$$-\frac{b}{a}$；$x_1x_2 = $$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$\cdot$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$=$$\frac{c}{a}$.

答案： 1.2 3 5 6 4 -1 3 -4 -3 1 -2 -3
2.三个方程的二次项系数都是1.x₁+x₂等于一次项系数的相反数;x₁x₂等于常数项.
3.$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$-\frac{b}{a}$ $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ $\frac{c}{a}$

归纳
1. 若$x_1$,$x_2是关于x的方程x^2 + px + q = 0$的两个实数根,则$x_1 + x_2 = $-p,$x_1x_2 = $q.
2. 若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)的两个根分别为x_1$,$x_2$,则$x_1 + x_2 = $$-\frac{b}{a}$,$x_1x_2 = $$\frac{c}{a}$,即一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.

答案： 1.-p q
2.$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ 一次项系数与二次项系数的比的相反数 常数项与二次项系数的比

1. (湖南怀化中考)若$x_1$,$x_2是一元二次方程x^2 - 2x - 3 = 0$的两个根,则$x_1x_2$的值是(D)
A.2
B.$-2$
C.4
D.$-3$

答案： D

2. 如果$x_1$,$x_2是方程x^2 - 2x - 1 = 0$的两个根,那么$x_1 + x_2 = $2,$x_1x_2 = $-1.

答案： 2 -1

【例1】已知方程$2x^2 + 3x - 1 = 0的两个根是x_1$,$x_2$,不解方程,求下列各式的值：
(1)$x_1^2 + x_2^2$； (2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.
解：

答案： 解:
(1)$\frac{13}{4}$.
(2)3.