《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

1. 下面是用配方法解一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的过程,请把解题过程补充完整。
移项,得$ax^{2}+bx=$-c。
二次项系数化为$1$,得$x^{2}+\frac{b}{a}x=$-$\frac{c}{a}$。
配方,得$x^{2}+\frac{b}{a}x+$$(\frac{b}{2a})^{2}$=-$\frac{c}{a}$+$(\frac{b}{2a})^{2}$,
即$(x +$$\frac{b}{2a}$$)^{2}= \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.※
2. 上面※式能直接开平方求解吗？如果不能,那么在什么条件下,才能运用直接开平方法求出方程的根？
不能.只有当$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \geqslant 0$时,才能运用直接开平方法求出方程的根.

答案： -c -$\frac{c}{a}$ $(\frac{b}{2a})^{2}$ -$\frac{c}{a}$ $(\frac{b}{2a})^{2}$ $\frac{b}{2a}$
@@不能.只有当$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \geqslant 0$时,才能运用直接开平方法求出方程的根.

3. 因为$a\neq0$,所以$4a^{2}＞0$.
(1) 当$b^{2}-4ac＞0$时,$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＞0$,
$x_{1}= $$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,$x_{2}= $$\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
(2) 当$b^{2}-4ac = 0$时,$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$=$0$,
$x_{1}= x_{2}= $$-\frac{b}{2a}$；
(3) 当$b^{2}-4ac＜0$时,$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}＜0$,方程无实数根。

答案：
(1)$\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$；
(2)= -$\frac{b}{2a}$；
(3)无实数根

归纳
1. 根的判别式
一般地,式子$b^{2}-4ac叫做一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的判别式,通常用希腊字母“$\Delta$”表示它,即$\Delta = b^{2}-4ac$.
(1) 当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根；
(2) 当$\Delta = 0$时,方程有两个相等的实数根；
(3) 当$\Delta＜0$时,方程无实数根。

答案： 1.
(1)两个不相等
(2)两个相等
(3)无

2. 公式法
(1) 当$\Delta\geq0$时,方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)的实数根可写为x= $$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的求根公式。
(2) 把一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)的系数a$,$b$,$c$的值直接代入求根公式,从而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

答案： 2.
(1)$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
(2)求根公式

1. 用公式法解一元二次方程$3x^{2}-2x= -3$时,首先要确定$a$,$b$,$c$的值,下列叙述正确的是(D)
A.$a = 3$,$b = 2$,$c = 3$
B.$a= -3$,$b = 2$,$c = 3$
C.$a = 3$,$b= -2$,$c= -3$
D.$a = 3$,$b= -2$,$c = 3$

答案： D