《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

学习任务一 垂径定理
如图 24.1.2 - 1,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD,使 CD⊥AB,垂足为 E。

(1)连接 OA,OB,直线 CD 是等腰三角形 OAB 的对称轴,直线 CD 也是⊙O 的对称轴。
(2)把圆沿直线 CD 折叠,CD 两侧的两个半圆重合,点 A 与点 B重合,AE 与BE重合,$\overset{\frown}{AC}$,$\overset{\frown}{AD}$分别与$\widehat{BC}$,$\widehat{BD}$重合。因此,AE = BE,$\overset{\frown}{AC}$ = $\widehat{BC}$,$\overset{\frown}{AD}$ = $\widehat{BD}$。

答案：
(1)对称轴　对称轴
(2)重合　重合　BE　$\widehat{BC}$　$\widehat{BD}$　BE　$\widehat{BC}$　$\widehat{BD}$

归纳
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形,有无数条对称轴,任何一条直径所在的直线(即过圆心的直线)都是圆的对称轴。
2. 垂径定理

答案： （本题为归纳总结题，无具体选项答案，上述解析内容即为核心结论）

1. 如图 24.1.2 - 2 所示,在⊙O 中,CD 是直径,若已知 AE = BE,直径 CD 与弦 AB 具有什么位置关系？为什么？

2. 在什么情况下,直径 CD 平分弦 AB 却不一定垂直 AB？

答案：
1.CD⊥AB,理由如下:
　分别连接OA,OB

,则△AOB为等腰三角形.
　因为AE=BE,所以CD⊥AB.
2.弦AB也是直径时.

归纳
垂径定理的推论

答案： 垂径定理的推论为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其符号语言和图示如题目所给。

【例 1】如图 24.1.2 - 3,M 是 CD 的中点,EM⊥CD,若 CD = 4,EM = 8,则$\overset{\frown}{CED}$所在圆的半径为$\frac{17}{4}$。

【一题多变】
1. 若已知圆的半径是 5,EM = 8,则 CD = 8。
2. 若已知圆的半径是 5,CD = 6,则 OM = 4。

答案： $\frac{17}{4}$
1.8
2.4

1. 如图 24.1.2 - 4,在⊙O 中,半径 OD 垂直于弦 AB,垂足为 C,OD = 13 cm,AB = 24 cm,则 CD = 8cm。

答案： 8