《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

6. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点,当 $ x \geq 0 $ 时,其图象如图所示。求抛物线对应的函数解析式,并写出抛物线的顶点坐标。

答案： 解:抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x+2.$抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{8}).$

7. 在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度,再作关于 $ x $ 轴的对称图象,得到抛物线 $ y = x^2 + 5x + 6 $,则原抛物线对应的函数解析式为(A)
A.$ y = -(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4} $
B.$ y = -(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{11}{4} $
C.$ y = -(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4} $
D.$ y = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4} $

答案： A

8. 如图所示,在平面直角坐标系中,正方形 $ OABC $ 的边长为 2,点 $ A $,$ C $ 分别在 $ y $ 轴的负半轴和 $ x $ 轴的正半轴上,抛物线经过点 $ A $,$ B $ 和 $ D(4, -\frac{2}{3}) $。求抛物线对应的函数解析式。

答案： 解:$y=\frac{1}{6}x^{2}-\frac{1}{3}x-2.$

9. 如图,已知二次函数 $ y = ax^2 - 4x + c $ 的图象经过点 $ A $ 和点 $ B $。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3) 点 $ P(m, m) $ 与点 $ Q $ 均在该函数图象上(其中 $ m ＞ 0 $),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求 $ m $ 的值及点 $ Q $ 到 $ x $ 轴的距离。

答案：
(1)该二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x-6.$
(2)对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为(2,-10).
(3)m=6.点Q到x轴的距离为6.

10. 如果两个二次函数的图象关于 $ y $ 轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于 $ y $ 轴对称二次函数”。如图所示,二次函数 $ y_1 = x^2 + 2x + 2 $ 与 $ y_2 = x^2 - 2x + 2 $ 是“关于 $ y $ 轴对称二次函数”。
(1) 直接写出图中“关于 $ y $ 轴对称二次函数”图象所具有的共同特点。
(2) 二次函数 $ y = 2(x + 2)^2 + 1 $ 的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”解析式为____；二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”解析式为____。
(3) 在平面直角坐标系中,记“关于 $ y $ 轴对称二次函数”的图象与 $ y $ 轴的交点为 $ A $,它们的两个顶点分别为 $ B $,$ C $,且 $ BC = 6 $,顺次连接点 $ A $,$ B $,$ O $,$ C $ 得到一个面积为 24 的菱形,求满足题意的“关于 $ y $ 轴对称二次函数”的函数解析式。

答案：

(1)题图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的共同特点是开口方向及开口大小相同，顶点关于y轴对称.
(2)$y=2(x-2)^{2}+1$　$y=a(x+h)^{2}+k$
(3)如答图22.1.4−1.由$BC=6$,顺次连接点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,得$OA=8$,所以A点坐标为(0,8),B点的坐标为(-3,4).设左侧抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+3)^{2}+4$,将A点坐标代入,得$9a+4=8$,解得$a=\frac{4}{9}$,所以$y=\frac{4}{9}(x+3)^{2}+4.$故二次函数$y=\frac{4}{9}(x+3)^{2}+4$与$y=\frac{4}{9}(x-3)^{2}+4$是满足题意的“关于y轴对称二次函数”.根据对称性,开口向下的抛物线也符合题意,故二次函数$y=-\frac{4}{9}(x+3)^{2}-4$与二次函数$y=-\frac{4}{9}(x-3)^{2}-4$也是满足题意的“关于y轴对称二次函数”.