《2025年人教金学典同步解析与测评九年级数学上册人教版云南专版》

2. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 在平面直角坐标系中的位置如图 22.1.4 - 4 所示,则下列结论中,正确的是(D)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ b ＜ 0 $
C.$ c ＜ 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

答案： D

3. 对于二次函数 $ y = -x^2 + 4x - 5 $,当 $ x \underline{\quad\quad} $ ＞2时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。

答案： ＞2

4. 若抛物线 $ y = x^2 - 6x + c $ 的顶点在 $ x $ 轴上,则 $ c = \underline{9} $。

答案： 9

1. 若点 $ A(-4, y_1) $,$ B(-3, y_2) $,$ C(1, y_3) $ 为二次函数 $ y = x^2 + 4x - 5 $ 的图象上的三点,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(B)
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $

答案： B

2.(浙江宁波中考)抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $($ m $ 是常数)的顶点在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

3. 在二次函数 $ y = x^2 + ax + b $ 中,若 $ a + b = 0 $,则它的图象必经过点(C)
A.$ (-1, -1) $
B.$ (1, -1) $
C.$ (1, 1) $
D.$ (-1, 1) $

答案： C

4.(天津中考)已知抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),顶点为 $ M $。平移该抛物线,使点 $ M $ 平移后的对应点 $ M' $ 落在 $ x $ 轴上,点 $ B $ 平移后的对应点 $ B' $ 落在 $ y $ 轴上,则平移后的抛物线对应的函数解析式为(A)
A.$ y = x^2 + 2x + 1 $
B.$ y = x^2 + 2x - 1 $
C.$ y = x^2 - 2x + 1 $
D.$ y = x^2 - 2x - 1 $

答案： A

5. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 图象的一部分如图 22.1.4 - 5 所示,其对称轴为直线 $ x = -1 $,且过点 $ (-3, 0) $,下列说法：① $ abc ＜ 0 $；② $ 2a - b = 0 $；③ $ 4a + 2b + c ＜ 0 $；④若 $ (-5, y_1) $,$ \left(\frac{5}{2}, y_2\right) $ 是抛物线上两点,则 $ y_1 ＞ y_2 $。其中正确的是(C)

A.①②③
B.②③
C.①②④
D.②③④

答案： C

6. 如图 22.1.4 - 6,抛物线 $ y = ax^2 - 5ax + 4a $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $,且过点 $ C(5, 4) $。
(1)求 $ a $ 的值和该抛物线顶点 $ P $ 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线对应的函数解析式。

答案：
(1)该二次函数的解析式为y=x²-5x+4.
顶点P的坐标为($\frac{5}{2}$,-$\frac{9}{4}$).
(2)(答案不唯一)如先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线的顶点坐标为(-$\frac{1}{2}$,$\frac{7}{4}$),此时抛物线对应的函数解析式为y=(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{7}{4}$,即y=x²+x+2.

7. 求二次函数 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 在 $ 0 \leq x \leq 3 $ 范围内的最小值和最大值。

答案： 由y=x²-2x-3,得y=(x-1)²-4,所以其图象顶点的坐标为(1,-4).
因为x=1在0≤x≤3范围内,且图象开口向上,所以当x=1时,y最小值=-4.
因为当1＜x≤3时,y随x的增大而增大,所以在1＜x≤3范围内,当x=3时,y最大值=3²-2×3-3=0.
因为当0≤x＜1时,y随x的增大而减小,所以在0≤x＜1范围内,当x=0时,y最大值=0²-2×0-3=-3.
所以在0≤x≤3范围内,y最大值=0.