《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

9. 如图,点M是直线$ AB:y = 2x + 3 $上的动点,过点M作$ MN \perp x $轴于点N,当点M位于第二象限某一位置时,在y轴上有一点P,使$ \triangle MNP $为等腰直角三角形,则点P的坐标为(0,0)，(0,1)，(0, 3/4)。

答案： (0,0)，(0,1)，(0, 3/4)

10. 某中学需要添置某种教学仪器,方案一：到商店购买,每件需要8元；方案二：学校自己制作,每件4元,另外需要制作工具的租借费120元。设需要仪器x件。
(1)试用含x的代数式分别表示出两种方案所需的费用；
(2)选择哪种方案更省钱？说明理由。

答案：
(1)方案一：到商店购买，每件8元，所以总费用为$8x$元；
方案二：学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租借费120元，所以总费用为$(4x + 120)$元。
(2)设所需费用为$y$元，
当$8x = 4x + 120$时，
$4x = 120$，
解得：$x = 30$，
即当$x = 30$时，两种方案同样省钱；
当$8x \gt 4x + 120$时，
$4x ＞ 120$，
解得：$x ＞ 30$，
即当$x ＞ 30$时，方案二更省钱；
当$8x ＜ 4x + 120$时，
$4x ＜ 120$，
解得：$x ＜ 30$，
即当$x ＜ 30$时，方案一更省钱。

11. 已知A城有肥料200吨,B城有肥料300吨,现要把这些肥料全部运往C,D两乡。从A城运往C,D两乡的费用分别为每吨20元和25元,从B城运往C,D两乡的费用分别为每吨15元和24元,现在C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,设从A城运往C乡的肥料量为x吨,总运费为y元。
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)当总费用为10200元时,从A,B城分别运往C,D两乡各多少吨？
(3)怎样调运化肥,可使总运费最少？最少运费是多少？

答案：
(1)
设从A城运往C乡的肥料量为$x$吨，则从A城运往D乡的肥料量为$(200 - x)$吨；从B城运往C乡的肥料量为$(240 - x)$吨，从B城运往D乡的肥料量为$\left[300 - (240 - x)\right]=(60 + x)$吨。
$y = 20x + 25(200 - x)+15(240 - x)+24(60 + x)$
$y = 20x + 5000 - 25x+3600 - 15x + 1440+24x$
$y = (20x - 25x - 15x + 24x)+(5000 + 3600 + 1440)$
$y = 4x + 10040$
因为$\begin{cases}x\geqslant0\\200 - x\geqslant0\\240 - x\geqslant0\\60 + x\geqslant0\end{cases}$，即$0\leqslant x\leqslant200$，所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y = 4x + 10040(0\leqslant x\leqslant200)$。
(2)
当$y = 10200$时，$10200=4x + 10040$，
$4x=10200 - 10040$，
$4x = 160$，
$x = 40$。
从A城运往C乡$40$吨，从A城运往D乡$200 - 40 = 160$吨；
从B城运往C乡$240 - 40 = 200$吨，从B城运往D乡$60 + 40 = 100$吨。
(3)
因为$y = 4x + 10040$，$k = 4\gt0$，$y$随$x$的增大而增大。
又因为$0\leqslant x\leqslant200$，所以当$x = 0$时，$y$有最小值。
$y_{最小}=10040$元。
从A城运往C乡$0$吨，从A城运往D乡$200$吨；从B城运往C乡$240$吨，从B城运往D乡$60$吨时，总运费最少，最少运费是$10040$元。