《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

6. 如图,已知直线 $ y = -2x + 2 $ 与 $ y $ 轴、$ x $ 轴分别交于点 $ A $,$ B $,以点 $ B $ 为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形 $ ABC $。
(1) 求 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(2) 求直线 $ BC $ 的函数表达式；
(3) 直线 $ BC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $,在直线 $ BC $ 上取一点 $ E $,使 $ AE = AC $,$ AE $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ F $。
① 求证：$ BD = ED $；
② 在 $ x $ 轴上是否存在一点 $ P $,使 $ \triangle APE $ 的面积等于 $ \triangle ABD $ 的面积？若存在,直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在,说明理由。

答案：
(1) 对于直线$y = -2x + 2$，
令$x = 0$，得$y = 2$，则$A(0,2)$；
令$y = 0$，得$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，则$B(1,0)$。
(2) 由$A(0,2)$，$B(1,0)$，得$BA$向量为$(-1,2)$。
∵$\triangle ABC$是以$B$为直角顶点的等腰直角三角形，且$C$在第一象限，
∴$BC$向量为$(2,1)$（$BA$顺时针旋转$90°$），
∴$C$点坐标为$B + (2,1) = (1 + 2, 0 + 1) = (3,1)$。
设直线$BC$解析式为$y = kx + b$，代入$B(1,0)$，$C(3,1)$：
$\begin{cases}k + b = 0 \\ 3k + b = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\ b = -\frac{1}{2}\end{cases}$，
∴直线$BC$：$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$。
(3) ① 直线$BC$交$y$轴于$D$，令$x = 0$，得$y = -\frac{1}{2}$，则$D(0,-\frac{1}{2})$。
由$AE = AC$，$A(0,2)$，$C(3,1)$，$AC = \sqrt{(3-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$。
设$E(m,\frac{1}{2}m - \frac{1}{2})$，则$AE = \sqrt{m^2 + (\frac{1}{2}m - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{10}$，
解得$m = -1$（$m = 3$为点$C$），则$E(-1,-1)$。
计算$BD = \sqrt{(1-0)^2 + (0 + \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，$ED = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$BD = ED$。
② 设$P(t,0)$，$\triangle ABD$面积为$\frac{1}{2} × \frac{5}{2} × 1 = \frac{5}{4}$。
$\triangle APE$面积$= \frac{1}{2} |3t + 2| = \frac{5}{4}$，解得$t = \frac{1}{6}$或$t = -\frac{3}{2}$，
∴$P(\frac{1}{6},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。
答案
(1) $A(0,2)$，$B(1,0)$；
(2) $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$；
(3) ① 见解析；② 存在，$P(\frac{1}{6},0)$或$(-\frac{3}{2},0)$。

7. 如图,平面直角坐标系中,已知点 $ A(10,0) $,点 $ B(0,8) $,过点 $ B $ 作 $ x $ 轴的平行线 $ l $,点 $ P $ 是直线 $ l $ 上位于第一象限内的一个动点,连接 $ OP $,$ AP $。
(1) 如图 1,若将 $ \triangle BOP $ 沿 $ OP $ 翻折后,点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 恰好落在 $ x $ 轴上,则 $ \triangle BOP $ 的面积为32；
(2) 如图 1,若 $ PO $ 平分 $ \angle APB $,求点 $ P $ 的坐标；
(3) 如图 2,已知点 $ C $ 是直线 $ y = \frac{8}{5}x $ 上一点,若 $ \triangle APC $ 是以 $ AP $ 为直角边的等腰直角三角形,求点 $ C $ 的坐标。

(2) 点 $ P $ 的坐标为 $ (4,8) $ 或 $ (16,8) $；
(3) 点 $ C $ 的坐标为 $ (10,16) $ 或 $ (2,\frac{16}{5}) $

答案：
(1) 32；
(2) $ (4,8) $或$ (16,8) $；
(3) $ (10,16) $或$ (2,\frac{16}{5}) $