《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

11. (1) 已知函数 $ y = (m - 3)x + 2m - 1 $ 的图象不经过第三象限,则 $ m $ 的取值范围是$\frac{1}{2} \leq m ＜ 3$；
(2) 如图,一次函数 $ y = -\frac{4}{3}x + 8 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,$ P $ 是 $ x $ 轴正半轴上的一个动点,连接 $ BP $,将 $ \triangle OBP $ 沿 $ BP $ 翻折,点 $ O $ 恰好落在 $ AB $ 上,则点 $ P $ 的坐标为$\left(\frac{16}{3},0\right)$。

答案：
(1)$\frac{1}{2} \leq m ＜ 3$；
(2)$\left(\frac{16}{3},0\right)$

12. 一次函数 $ y = mx + m + 1 $ 的图象经过一个定点,这个定点的坐标是$(-1,1)$。

答案： $(-1,1)$

13. 如图,在直角坐标系 $ xOy $ 中,一次函数 $ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ A $,$ B $ 两点,点 $ C $ 的坐标为 $ (1, 0) $,点 $ D $ 在 $ x $ 轴上且在点 $ C $ 右边,$ \angle BDC = \angle CBD $,求点 $ D $ 的坐标与 $ \triangle ABD $ 的面积。

答案： 解答过程：
1. 求A、B两点坐标
一次函数$ y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 $与y轴交于点B，令$ x=0 $，得$ y=1 $，故$ B(0,1) $。
与x轴交于点A，令$ y=0 $，解方程$ 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 1 $，得$ x=-\sqrt{3} $，故$ A(-\sqrt{3},0) $。
2. 求点D坐标
已知点$ C(1,0) $，设$ D(d,0) $（$ d＞1 $）。
在$ \triangle BCD $中，$ \angle BDC = \angle CBD $，由等角对等边得$ BC = CD $。
计算$ BC $长度：$ B(0,1) $，$ C(1,0) $，则$ BC = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2} $。
因此$ CD = BC = \sqrt{2} $，又$ CD = d - 1 $，故$ d = 1 + \sqrt{2} $，即$ D(1 + \sqrt{2}, 0) $。
3. 求$ \triangle ABD $的面积
$ A(-\sqrt{3},0) $，$ D(1 + \sqrt{2},0) $，则$ AD = (1 + \sqrt{2}) - (-\sqrt{3}) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} $。
$ \triangle ABD $的高为点B到x轴的距离，即$ OB = 1 $。
面积$ S = \frac{1}{2} × AD × OB = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) × 1 = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $。
结论：
点D的坐标为$ (1 + \sqrt{2}, 0) $；
$ \triangle ABD $的面积为$ \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} $。

14. 请结合一次函数的学习经验探究函数 $ y = 2|x + 1| - 3 $ 的图象。
(1) 列表：
| $ x $ | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| $ y $ | … | 3 | $ m $ | -1 | -3 | -1 | $ n $ | 3 | … |

表中 $ m = $1,$ n = $1；
(2) 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3) 观察(2)中所画函数的图象,写出关于该函数的两条结论。
结论1：函数图象关于直线$x = - 1$对称；
结论2：函数的最小值为$-3$。

答案：
(1)
当$x = - 3$时，$y=2×\vert - 3 + 1\vert-3=2×2 - 3=1$，所以$m = 1$；
当$x = 1$时，$y=2×\vert1 + 1\vert-3=2×2-3 = 1$，所以$n = 1$。
(2)
函数$y = 2\vert x + 1\vert-3$，当$x\geqslant - 1$时，$y = 2(x + 1)-3=2x - 1$，过点$(-1,-3)$，$(0,-1)$，$(1,1)$，$(2,3)$等；
当$x\lt - 1$时，$y = 2(-(x + 1))-3=-2x - 5$，过点$(-4,3)$，$(-3,1)$，$(-2,-1)$等。在平面直角坐标系中描出这些点并用平滑曲线连接。
(3)
结论1：函数图象关于直线$x = - 1$对称；
结论2：函数的最小值为$-3$。