《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

1. 如图,已知△ABC,C(-4,4),求△ABC的面积.

答案： 由图可知：$A(-2,0)$，$B(4,0)$，$C(-4,4)$，
$AB$的长度：$|4-(-2)| = 6$，
$C$到$x$轴（即$AB$所在水平线）的垂直距离为$4$（$C$的$y$坐标值），
$\triangle ABC$的面积：
$S = \frac{1}{2} × AB × 高 = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$。
故$\triangle ABC$的面积为$12$。

2. 在平面直角坐标系内,已知点A(8,0),B(3,0),点C是点A关于点B的对称点.
(1)求点C的坐标；
(2)若P(0,2),过点P作直线l//x轴,点A关于直线l的对称点是点D,求△BCD的面积.

答案：
(1)设点C的坐标为$(x, 0)$。
由于点C是点A关于点B的对称点，根据对称点的性质，点B是点A和点C的中点。
因此，有$\frac{8 + x}{2} = 3$。
解这个方程得到$x = -2$。
所以，点C的坐标为$(-2, 0)$。
(2)由于点D是点A关于直线$l$（$l//x$轴且过点$P(0,2)$）的对称点，根据对称性质，点D的纵坐标与点A的纵坐标关于直线$l$对称，即纵坐标为4，横坐标与点A的横坐标相同，即8的对称点为横坐标不变，因此点D的坐标为$(8, 4)$（因为对称轴是平行于x轴的直线，所以横坐标不变，纵坐标变为对称轴的两倍减原纵坐标，即$4=2×2-0$）。
已知点$B(3,0)$，点$C(-2,0)$，点$D(8,4)$，可以计算三角形$\bigtriangleup BCD$的面积。
首先，计算底边BC的长度：$|BC| = |-2 - 3| = 5$。
然后，计算点D到BC的垂直距离，即点D的纵坐标的绝对值，因为BC在x轴上，所以距离为4。
最后，根据三角形面积的计算公式，$\bigtriangleup BCD$的面积为：
$S_{\bigtriangleup BCD} = \frac{1}{2} × |BC| × 4 = \frac{1}{2} × 5 × 4 = 10$。
所以，$\bigtriangleup BCD$的面积为10。

3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形EFGC的面积分别为64和16.
(1)请写出点A,E,F的坐标；
(2)求$S_{△BDF}$的值.

答案：
(1) A(0,8)，E(8,4)，F(12,4)；
(2) 32。

4. 如图,在平面直角坐标系中,点A(-a,2),B(a,b),且a,b满足$b = \sqrt{a - 5} + \sqrt{5 - a} + 6.$
(1)求a,b的值；
(2)AB与y轴交于点C,连接OA,OB,求点C的坐标及△BOC的面积.

答案：
(1)由二次根式有意义的条件得：$a - 5 \geq 0$且$5 - a \geq 0$，解得$a = 5$。将$a = 5$代入$b = \sqrt{a - 5} + \sqrt{5 - a} + 6$，得$b = 0 + 0 + 6 = 6$。故$a = 5$，$b = 6$。
(2)由
(1)得$A(-5, 2)$，$B(5, 6)$。设直线$AB$的解析式为$y = kx + d$，将$A(-5, 2)$，$B(5, 6)$代入得：
$\begin{cases}2 = -5k + d \\6 = 5k + d\end{cases}$
两式相加得$8 = 2d$，解得$d = 4$。将$d = 4$代入$2 = -5k + 4$，得$-5k = -2$，解得$k = \frac{2}{5}$。故直线$AB$的解析式为$y = \frac{2}{5}x + 4$。令$x = 0$，得$y = 4$，所以$C(0, 4)$。
$\triangle BOC$中，$OC = 4$（$O$为原点，$C(0, 4)$），点$B$到$y$轴距离为$5$（$B(5, 6)$横坐标的绝对值）。面积$S = \frac{1}{2} × OC × 5 = \frac{1}{2} × 4 × 5 = 10$。
综上，点$C$的坐标为$(0, 4)$，$\triangle BOC$的面积为$10$。
(1)$a = 5$，$b = 6$；
(2)$C(0, 4)$，面积为$10$。

5. 在平面直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,c),其中a,b,c满足|a - 2|$ + (b - 3)^2 = 0,$c = 2b - a.
(1)求a,b,c的值；
(2)在第二象限内有一点P(m,1),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等,请求出点P的坐标.

答案：
(1)a=2，b=3，c=4；
(2)四边形ABOP面积为3-m，P(-3,1)。