《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

10. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度 $ CE $ 是 $ 2.2 $ 米。一架梯子 $ AB $ 斜靠在左墙时,梯子顶端 $ A $ 与地面点 $ C $ 的距离是 $ 2.4 $ 米。如果保持梯子底端 $ B $ 位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端 $ D $ 与地面点 $ E $ 的距离是 $ 2 $ 米。求此时梯子底端 $ B $ 到地面点 $ E $ 的距离。

答案： 设梯子底端$ B $到点$ E $的距离为$ x $米。
因为小巷宽度$ CE=2.2 $米，且$ C $、$ B $、$ E $在同一直线上，所以$ B $到点$ C $的距离为$ (2.2 - x) $米。
当梯子斜靠在左墙时，在$ Rt\triangle ABC $中，$ AC=2.4 $米，$ BC=(2.2 - x) $米，梯子长$ AB $满足：
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 = 2.4^2 + (2.2 - x)^2 $。
当梯子斜靠在右墙时，在$ Rt\triangle DEB $中，$ DE=2 $米，$ BE=x $米，梯子长$ DB $满足：
$ DB^2 = DE^2 + BE^2 = 2^2 + x^2 $。
由于梯子长度不变，即$ AB=DB $，故$ AB^2=DB^2 $，可得方程：
$ 2.4^2 + (2.2 - x)^2 = 2^2 + x^2 $。
展开并化简：
$ 5.76 + (4.84 - 4.4x + x^2) = 4 + x^2 $
$ 5.76 + 4.84 - 4.4x + x^2 = 4 + x^2 $
$ 10.6 - 4.4x = 4 $
$ -4.4x = -6.6 $
$ x = 1.5 $。
答：梯子底端$ B $到地面点$ E $的距离为$ 1.5 $米。

11. 在 $ \triangle DEF $ 中,$ DE = 15 $,$ EF = 13 $,$ DF = 4 $,则 $ \triangle DEF $ 的面积是 18。

答案： 18

12. 如图,已知 $ AB \perp BC $,$ AB \perp AD $,$ AD = 5 $,$ BC = 10 $,$ AE = 6.5 $,点 $ E $ 是 $ CD $ 的中点,求 $ AB $ 的长。

答案： 12

13. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,点 $ D $,$ E $ 均在边 $ BC $ 上,且 $ \angle DAE = 45^{\circ} $,若 $ BD = 4 $,$ CE = 3 $,求 $ DE $ 的长。

答案： 5