《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

1. 如图,一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A处沿着侧面爬到上底面点B处,已知圆柱的底面周长为12cm,高为8cm,则蚂蚁爬行的最短路程是(C)

A.6cm
B.8cm
C.10cm
D.12cm

答案： C

2. 如图,一只蚂蚁沿正方体侧面从顶点C爬到顶点B,现将正方体侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是(A)

答案： A

3. 某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图),在灯笼的侧面上,从顶点A到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm,底面边长为40cm,则这圈彩带的长度至少为(C)

A.50cm
B.120cm
C.130cm
D.150cm

答案： C

4. 如图,有一个圆柱,底面周长为16cm,高BC = 12cm,P为BC的中点,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬到点P的最短路程为10cm.

答案： 10

5. 如图是一个二级台阶的示意图,每一级台阶的高是20cm,长是50cm,宽是40cm,一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B,其爬行的最短路线的长度是130cm.

答案： 130

6. 如图,圆柱的底面半径为$\frac{5}{2\pi}$cm,高为36cm,点A,B分别是圆柱两底面圆周上的点,且点A,B在同一高线上,用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B,则这根棉线的长度最短为39cm.

答案： 39

7. 如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为多少？画出侧面展开图,并解答.

答案： 侧面展开图（有多种展开方式，以下以一种为例）：
将长方体四个侧面展开成一个长方形，长方形的长为$2×(2 + 4)=12cm$，宽为$5cm$。
根据两点之间线段最短，$P$、$Q$两点在展开图上的最短距离即为直角三角形的斜边。
根据勾股定理，斜边$d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13cm$。
所以蚂蚁爬行的最短路程为$13cm$。

8. 如图,一圆柱高15cm,底面半径为$\frac{20}{\pi}$cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少？

答案： 1. 圆柱底面周长：$ C = 2\pi r = 2\pi × \frac{20}{\pi} = 40 \, cm $。
2. 将圆柱侧面展开为矩形，矩形长为底面周长40 cm，宽为圆柱高15 cm。
3. 蚂蚁爬行最短路程为展开图中A、B两点连线的长度，此时A、B水平距离为底面周长一半$ \frac{40}{2} = 20 \, cm $，垂直距离为圆柱高15 cm。
4. 由勾股定理：$ 最短路程 = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \, cm $。
25 cm