《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

9. (1)若$a-b= \dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$,则$3a^{2}-6ab+3b^{2}-3$的值为$6 - 6\sqrt{2}$；
(2)若$a满足\vert2025-a\vert+\sqrt{a-2026}= a$,则$a-2025^{2}$的值为2026.

答案：
(1)$6 - 6\sqrt{2}$；
(2)2026

10. 观察：因为$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$,即$2\lt\sqrt{5}\lt3$,所以$\sqrt{5}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{5}-2$.
请你观察上述规律后解决下列问题：
(1)规定用符号$[m]表示实数m$的整数部分,例如：$[\dfrac{2}{3}]= 0$,$[\sqrt{6}]= 2$,则$[\sqrt{10}+1]=$4；
(2)若$\sqrt{11}的整数部分为a$,小数部分为$b$,$\vert c\vert=\sqrt{11}$,求$c(a-b-6)+12$的值.
1或23

答案：
(1) 因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，所以$\sqrt{10} + 1$的范围是$4 ＜ \sqrt{10} + 1 ＜ 5$，因此$[\sqrt{10} + 1] = 4$。
(2) 因为$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，所以$\sqrt{11}$的整数部分$a = 3$，小数部分$b = \sqrt{11} - 3$。
因为$\vert c\vert = \sqrt{11}$，所以$c = \sqrt{11}$或$c = -\sqrt{11}$。
当$c = \sqrt{11}$时：
$\begin{aligned}c(a - b - 6) + 12&=\sqrt{11}[3 - (\sqrt{11} - 3) - 6] + 12\\&=\sqrt{11}(3 - \sqrt{11} + 3 - 6) + 12\\&=\sqrt{11}(-\sqrt{11}) + 12\\&=-11 + 12\\&=1\end{aligned}$
当$c = -\sqrt{11}$时：
$\begin{aligned}c(a - b - 6) + 12&=-\sqrt{11}[3 - (\sqrt{11} - 3) - 6] + 12\\&=-\sqrt{11}(3 - \sqrt{11} + 3 - 6) + 12\\&=-\sqrt{11}(-\sqrt{11}) + 12\\&=11 + 12\\&=23\end{aligned}$
综上，$c(a - b - 6) + 12$的值为$1$或$23$。
(1) $4$
(2) $1$或$23$

11. 阅读材料：
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方. 例如：$4+2\sqrt{3}= 1+3+2\sqrt{3}= 1^{2}+2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}= (1+\sqrt{3})^{2}$. 这样小明就找到了一种把类似$4+2\sqrt{3}$的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空：$13 + 4\sqrt{3}$$=(1+2\sqrt{3})^{2}$；
(2)$7+4\sqrt{3}$的算术平方根为$2+\sqrt{3}$；
(3)化简：$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+…+\sqrt{2n+1-2\sqrt{n(n+1)}}$.($n$为正整数)
$\sqrt{n + 1}-1$

答案：
(1)
因为$(1 + 2\sqrt{3})^{2}=1^{2}+4\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}=1 + 4\sqrt{3}+12 = 13+4\sqrt{3}$。
故答案为$13 + 4\sqrt{3}$。
(2)
因为$7 + 4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=2^{2}+2×2×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=(2 + \sqrt{3})^{2}$。
所以$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}=\vert2+\sqrt{3}\vert=2+\sqrt{3}$，即$7 + 4\sqrt{3}$的算术平方根为$2+\sqrt{3}$。
故答案为$2+\sqrt{3}$。
(3)
因为$3-2\sqrt{2}=2-2\sqrt{2}+1=(\sqrt{2}-1)^{2}$，则$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；
$5 - 2\sqrt{6}=3-2\sqrt{6}+2=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$，则$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$7-2\sqrt{12}=4-2\sqrt{12}+3=(2 - \sqrt{3})^{2}$，则$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=2-\sqrt{3}$；
$\cdots$
$2n + 1-2\sqrt{n(n + 1)}=n+1-2\sqrt{n(n + 1)}+n=(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})^{2}$，则$\sqrt{2n + 1-2\sqrt{n(n + 1)}}=\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}$。
所以$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+\cdots+\sqrt{2n+1-2\sqrt{n(n + 1)}}$
$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2 - \sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})$
$=\sqrt{n + 1}-1$。
综上，答案依次为：
(1)$13 + 4\sqrt{3}$；
(2)$2+\sqrt{3}$；
(3)$\sqrt{n + 1}-1$。