《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

9. 如图,一艘轮船以16海里/时的速度离开港口,向北偏东40°方向航行,同时另一艘轮船以12海里/时的速度向北偏西一定角度的方向航行,已知它们离港口一个半小时后相距30海里(即AB= 30海里),问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？

答案： 由题意得：
$OA = 16 × 1.5 = 24$（海里），
$OB = 12 × 1.5 = 18$（海里），
在$\triangle AOB$中，由勾股定理的逆定理得：
$OA^{2} + OB^{2} = 24^{2} + 18^{2} = 576 + 324 = 900$，
$AB^{2} = 30^{2} = 900$，
所以$OA^{2} + OB^{2} = AB^{2}$，
所以$\angle AOB = 90^{\circ}$。
因为$\angle DOA = 40^{\circ}$，
所以$\angle BOD = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西$50^{\circ}$。

10. 如图,在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现C处需要爆破,已知C处与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C处周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明。

答案： 已知$CA \perp CB$，根据勾股定理，在直角三角形$ABC$中，有$AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}$。
已知$AC = 300$米，$BC = 400$米，将其代入上式可得：
$AB^{2}=300^{2}+400^{2}=90000 + 160000=250000$，
则$AB=\sqrt{250000}=500$（米）。
设点$C$到$AB$的距离为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× h$。
即$\frac{1}{2}×300×400=\frac{1}{2}×500× h$，
$h=\frac{300×400}{500}=240$（米）。
因为爆破点$C$处周围半径$250$米范围内不得进入，而$240\lt 250$。
所以在进行爆破时，公路$AB$段有危险，需要暂时封锁。

11. 如图,某隧道的横截面由半圆和长方形构成,其中长方形的长为4米,宽为2.5米。一辆装满货物、宽为2.4米的卡车(横截面为长方形),欲通过该隧道,则卡车的高必须低于4.1米。

答案： 4.1

12. 如图,在长方形ABCD纸片中,AB= 6,AD= 8,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,求折痕EF的长。

答案： 连接BD，交EF于点O。
∵折叠使B与D重合，
∴EF垂直平分BD，即O为BD中点，EF⊥BD。
在长方形ABCD中，AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴BD=√(AB²+AD²)=√(6²+8²)=10，
∴BO=OD=5。
设EF交AD于E，交BC于F，设AE=x，则DE=BE=8-x（折叠后BE=DE）。
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，即6²+x²=(8-x)²，
解得x=7/4，
∴DE=8-7/4=25/4。
∵AD//BC，
∴∠ODE=∠OBF，又∠DOE=∠BOF，OD=OB，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴BF=DE=25/4。
过E作EG⊥BC于G，则EG=AB=6，FG=BF-AE=25/4-7/4=18/4=9/2。
在Rt△EFG中，EF=√(EG²+FG²)=√(6²+(9/2)²)=√(36+81/4)=√(225/4)=15/2。
答：折痕EF的长为15/2。