《2025年学典四川八年级数学上册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD \perp AB于点D$,$AC = 20$,$BC = 15$。
(1)求$CD$的长；
(2)求$AD$的长。

答案：
(1)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，已知$AC = 20$，$BC = 15$，则$AB=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400 + 225}=\sqrt{625}=25$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，即$\frac{1}{2}×20×15=\frac{1}{2}×25× CD$，解得$CD = 12$。
(2)
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，已知$AC = 20$，$CD = 12$，则$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=\sqrt{400 - 144}=\sqrt{256}=16$。
故答案为：
(1)$CD$的长为$12$；
(2)$AD$的长为$16$。

10. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 12$,$BC = 24$,将长方形折叠,使点$C与点A$重合,则$AF$的长为15。

答案： 15

11. 等腰三角形$ABC的底边BC = 16\mathrm{cm}$,腰$AB = 10\mathrm{cm}$,一动点$P在底边上从点B开始向点C以0.5\mathrm{cm/s}$的速度运动,当点$P运动到PA$与腰垂直的位置时,点$P$运动的时间为7s或25s。

答案： 本题可先作等腰三角形底边上的高，利用勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况讨论$PA$与腰垂直时$BP$的长度，最后根据速度公式求出运动时间。
- **步骤一：作辅助线并求出相关线段长度
过$A$作$AD\perp BC$于点$D$，因为$\triangle ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可知$BD = CD=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 16cm$，所以$BD = CD = 8cm$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$，将$AB = 10cm$，$BD = 8cm$代入可得：
$AD=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$
- **步骤二：分情况讨论$PA$与腰垂直时$BP$的长度
情况一：当$PA\perp AC$时
在$Rt\triangle PAC$中，$PD = x$，则$PC = 8 + x$，$PA^{2}=PD^{2}+AD^{2}=x^{2}+36$。
根据勾股定理$PA^{2}+AC^{2}=PC^{2}$，可得$x^{2}+36 + 10^{2}=(8 + x)^{2}$，展开等式右边$(8 + x)^{2}=64 + 16x + x^{2}$，则有：
$x^{2}+36 + 100=64 + 16x + x^{2}$
移项化简可得$16x = 72$，解得$x = 4.5$，所以$BP = BD - PD = 8 - 4.5 = 3.5cm$。
情况二：当$PA\perp AB$时
在$Rt\triangle PAB$中，$PD = y$，则$BP = 8 + y$，$PA^{2}=PD^{2}+AD^{2}=y^{2}+36$。
根据勾股定理$PA^{2}+AB^{2}=BP^{2}$，可得$y^{2}+36 + 10^{2}=(8 + y)^{2}$，展开等式右边$(8 + y)^{2}=64 + 16y + y^{2}$，则有：
$y^{2}+36 + 100=64 + 16y + y^{2}$
移项化简可得$16y = 72$，解得$y = 4.5$，所以$BP = BD + PD = 8 + 4.5 = 12.5cm$。
- **步骤三：根据速度公式求出运动时间
已知动点$P$的速度是$0.5cm/s$，根据公式$t=\frac{s}{v}$（其中$t$为时间，$s$为路程，$v$为速度）。
当$BP = 3.5cm$时，运动时间$t_{1}=\frac{3.5}{0.5}=7s$；
当$BP = 12.5cm$时，运动时间$t_{2}=\frac{12.5}{0.5}=25s$。
综上，点$P$运动的时间为$\boldsymbol{7s}$或$\boldsymbol{25s}$。

12. 如图,$\triangle DEF$为等腰三角形,$EF = ED$,$FH \perp ED$,$DH = 2$,$FH = 4$,求$EF$的长。

答案： 设$EF=ED=x$。
因为$DH=2$，所以$EH=ED-DH=x-2$。
在$Rt\triangle FHE$中，$FH\perp ED$，$FH=4$，由勾股定理得：$EH^2 + FH^2 = EF^2$。
即$(x-2)^2 + 4^2 = x^2$。
展开得$x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2$。
化简得$-4x + 20 = 0$。
解得$x=5$。
所以$EF$的长为$5$。

13. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD = 8$,$\angle A = 60^{\circ}$,$\angle D = 150^{\circ}$,四边形$ABCD的周长为32$,求$BC和CD$的长度。

答案： 连接$BD$，
因为$AB = AD = 8$，$\angle A = 60^{\circ}$。
所以$\triangle ABD$是等边三角形。
所以$\angle ADB = \angle ABD =60^{\circ}$，$BD = 8$，
因为$\angle D = 150^{\circ}=\angle ADB + \angle BDC$。
所以$\angle BDC =150^{\circ}-60^{\circ}= 90^{\circ}$。
所以$\triangle BDC$是直角三角形。
因为四边形$ABCD$的周长为$32$。
所以$AB + AD + BC + CD = 32$，
即$8 + 8 + BC + CD = 32$。
所以$BC + CD = 16$，
设$CD = x$，则$BC = 16 - x$。
在$Rt\triangle BDC$中，根据勾股定理得：
$CD^{2} + BD^{2} = BC^{2}$。
即$x^{2} + 8^{2} = (16 - x)^{2}$。
$x^{2} + 64 = 256 - 32x + x^{2}$。
$32x = 192$。
$x = 6× 32/32=6$。
$BC = 16 - 6 = 10$。
综上，$BC$的长度为$10$，$CD$的长度为$6$。